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2012广东高考理科数学试题及答案交流群里的.doc
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
一、选择题
1.(复数)设为虚数单位,则复数( )
A. B. C. D.
解析:D..
2.(集合)设集合,,则( )
A. B. C. D.
解析:C..
3.(向量)若向量,,则( )
A. B. C. D.
解析:A..
4.(函数)下列函数中,在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
解析:A.在上是增函数.
5.已知变量、满足约束条件,则的最大值为( )
A.12 B.11 C.3 D.
解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最大值.联立,解得,所以的最大值为11.
6.(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为( )
A. B.
C. D.
解析:C.该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为,上部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为,所以体积为.
7.(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )
A. B. C. D.
解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为.
8.对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则( )
A. B.1 C. D.
解析:C.,,两式相乘,可得.因为,所以、都是正整数,于是,即,所以.而,所以,,于是.
二、填空题
(一)必做题(9—13题)
9.(不等式)不等式的解集为__________________.
解析:.的几何意义是到的距离与到0的距离的差,画出数轴,先找出临界“的解为”,然后可得解集为.
10.(二项式定理)的展开式中的系数为_________.(用数字作答)
解析:20.的展开式通项为,令,解得,所以的展开式中的系数为.
11.(数列)已知递增的等差数列满足,,则______________.
解析:.设公差为(),则有,解得,所以.
12.曲线在点处的切线方程为___________________.
解析:.,所以切线方程为,即.
13.(算法)执行如图2所示的程序框图,若输入的值为8,则输出的值为______.
解析:8.第一次循环,,,;第二次循环,,,;第三次循环,,,.此时退出循环,输出的值为8.
(二)选做题(14—15题)
14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为(为参数)和(为参数),则曲线与的交点坐标为________.
解析:.法1:曲线的普通方程是(),曲线的普通方程是,联立解得,所以交点坐标为.
法2:联立,可得,即,解得或(舍去),所以,交点坐标为.
15.(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、、是圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则__________.
解析:.连接,则,,因为,所以.
三、解答题
16.(三角函数)(本小题满分12分)
已知函数(其中)的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设、,,,求的值.
解析:(Ⅰ),所以.
(Ⅱ),所以.,所以.因为、,所以,,所以.
17.(概率统计)(本小题满分13分)
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、、、、、.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.
解析:(Ⅰ)由,解得.
(Ⅱ)分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2.
,,,所以的数学期望是.
18.(立体几何)(本小题满分13分)
如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.
解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是.
法1:以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3.
法2:设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为.
19.设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.
解析:(Ⅰ)由,解得.
(Ⅱ)由可得
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