高等代数(第三版)9.7.ppt

* * * 一. 向量到子空间的距离 二. 最小二乘法 一. 向量到子空间的距离 1. 向量间的距离 (1) 定义：长度 称为向量 和 的距离，记为 (2) 基本性质 ① ② 并且仅当 的等号才成立； ③（三角形不等式） (1) 固定向量 ，如果与子空间 中每个向量垂直， 2.向量到子空间的距离 称 垂直于子空间 记 如果 则 (2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短. 的满足 的向量，要证明 如图示意，对给定 ，设 是 中 对 有 （1） 证明： 因 是子空间， 由勾股定理 则 故 即（1）成立. 二. 最小二乘法 1.问题提出，实系数线性方程组 （2） 可能无解，即任意 都可能使 （3） 不等于零，设法找实数组 使（3）最小 这样的 为方程组（2）的最小二乘解， 此问题叫最小二乘法问题. 2.问题的解决 在（1）之下再设 （4） 用距离的概念，（3）就是 由（4）知 找 使（3）最小，等价于找子空间 中向量 使 到它的距离 比到 中其它向量的距离都短. 设 为此必 这等价于 （5） 即 这样（5）等价于 或 （6） 我们想找出 对 的一个近似公式. （6）就是最小二乘解所满足的代数方程. 例. 已知某种材料在生产过程中的废品率 与某种 化学成份 有关.下列表中记载了某工厂生产 中 与相应的 的几次数值： 解 把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势 近于一条直线.因此我们决定选取 的一次式 来表达.当然最好能选到适当的 使得 下面的等式 的平方和最小，即找 使 都发生些误差.于是想找到 使得上面各式的误差 都成立.实际上是不可能的。任何 代入上面各式 最小.易知 最小二乘解 所满足的方程就是 即为 * * * *