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PAGE PAGE 1 11大纲理22试题八种优美解法 22.已知O为坐标原点，F为椭圆C：在轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的直线与C交于A、B两点，点P满足. （Ⅰ）证明：点P在椭圆C上； （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 解：（1）由题意知：F(0,1),直线的方程为, 代入椭圆方程并化简得：。 设, ，即P， 经检验：点P的坐标满足方程，故点P在椭圆C上。 (2) 优美解法一： 由P和题设知Q,PQ的垂直平分线的方程为……① 设AB的中点M,则M,AB的垂直平分线的方程为……② 由①、②得、的交点为N, , ， , , 故，又,， 由此知A、P、B、Q四点是以N为圆心，NA为半径的圆上。 优美解法二： 由（1）知：可以求得：A,B， AB的中点的坐标为，假设A、P、B、Q四点在同一圆上， 并设圆心为H，则,又 ，， 由得……① 得……② 由①、②得、的交点为H, 经计算：，所以假设成立， 因此知A、P、B、Q四点是以H为圆心，HA为半径的圆上。 优美解法三: 由（1）及题设可以求得：P,Q, A,B 所以 同理： 又 因此A、P、B、Q四点在同一圆上. 优美解法四： 由P和题设知Q所以 , 又 因此A、P、B、Q四点在同一圆上. 说明： ①此法可以不求出具体的数值，也能证明出结论； ②可以求方法同上； ③也可以通过证明四边形的一个外角等于它的内对角完成证明，方法类似。 优美解法五： 由（1）知：可以求得：P,Q,A, 设A、P、Q三点所在的外接圆为， 则,解得：D=,E=F=; A、P、Q三点所在的圆的方程为： 经检验B在该圆上，因此因此A、P、B、Q四点在同一圆上. 优美解法六： 由（1）知：可以求得：P,Q,A, 设A、P、Q三点所在的外接圆为， 则,解得：； A、P、Q三点所在的圆的方程为：， 经检验B在该圆上，因此A、P、B、Q四点在同一圆上. 优美解法七： 由（1）知：可以求得：A,B， 所以直线PQ方程为……③ 又直线AB的方程为……④ 由③、④得PQ、AB的交点为R, 计算得； 所以,即， ， 因此A、P、B、Q四点在同一圆上. 优美解法八： 由（1）知：椭圆C：，直线PQ方程为，直线AB的方程为； 假设A、P、B、Q四点在同一圆上，则一定在曲线系…… = 4 \* GB3 ④上，…… 整理得：； 所以，解得； 代入 = 4 \* GB3 ④整理得： 【也可整理为:】 经检验A、P、B、Q在该圆上，因此A、P、B、Q四点在同一圆上.