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第五章 第五章 杆单元的几何非线性有限元法 杆单元的几何非线性有限元法 一、总 述 一、总 述 （一）网格结构非线性分析的特征和产生的根源 （一）网格结构非线性分析的特征和产生的根源 1. 任何结构体系的受力形态都是非线性的,数学上体现 1. 任何结构体系的受力形态都是非线性的,数学上体现 在荷载和变形的关系是非线性的，即 在荷载和变形的关系是非线性的，即 K (U)U = P 2. 非线性产生的根源： 2. 非线性产生的根源： （1）几何非线性－位移和应变关系非线性 （1）几何非线性－位移和应变关系非线性 （大位移） （大位移） （2）材料非线性－应力和应变关系非线性 （2）材料非线性－应力和应变关系非线性 （例如塑性变形） （例如塑性变形） 一、总 述 一、总 述 （二）网格结构非线性分析的目的 （二）网格结构非线性分析的目的 1. 稳定性分析 1. 稳定性分析 ——至少考虑几何非线性。 ——至少考虑几何非线性。 2. 结构的极限承载能力估计 2. 结构的极限承载能力估计 ——几何非线性和材料非线性可能需要同时 ——几何非线性和材料非线性可能需要同时 考虑 考虑 二、几何非线性杆单元分析的基本假定 二、几何非线性杆单元分析的基本假定 1.节点为铰接，杆件只受轴力； 1.节点为铰接，杆件只受轴力； 1.节点为铰接，杆件只受轴力； 2.材料符合虎克定律，按弹性方法分析； 2.材料符合虎克定律，按弹性方法分析； 2.材料符合虎克定律，按弹性方法分析； 3.网架只作用有节点荷载。 3.网架只作用有节点荷载。 3.网架只作用有节点荷载。 不再引入小挠度假定！！！ 不再引入小挠度假定！！！ 不再引入小挠度假定！！！ 三、杆单元的非线性刚度矩阵 三、杆单元的非线性刚度矩阵 1.几何关系 1.几何关系 1.几何关系 定义时刻t索单元两端节点i、j 定义时刻t索单元两端节点i、j 的坐标向量为 的坐标向量为 T X {x y z x y z } e i i i j j j 变形后索单元两端节点位移向量 T U {u v w u v w } e i i i j j j 变形前和变形后索单元的长度为 L (x =−x )2 +(y −y )2 +(z −z )2 j i j i j i L (x =+u −x −u )2 +(y +v −y −v )2 +(z +w −z −w )2 j j i i j j i i j j i i 应变为 L −L L