全等三角形培优竞赛训练题.doc

PAGE PAGE 1 全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ FBA F B A C E 图3 D F B A D C E G 图2 F B A D C E G 图1 2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A A D F C G E B 图1 A D F C G E B 图2 A D F C G E B 图3 3、已知中，为边的中点， 绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、 当绕点旋转到于时（如图1），易证 当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A A E C F B D 图1 图3 A D F E C B A D B C E 图2 F 4、在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交 于两点． （1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论； A A D B E C F A D B E C F （2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求的长． 5、如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形． （1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分） （2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分） 图9 图10 图11 图9 图10 图11 图8 6、点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证： （1）AN=MB. （2）△CEF为等边三角形。 （3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？(只回答不证明)， （4）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明)。 7、问题：已知中，，点是内的一点，且，．探究与度数的比值． 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，与得数量关系为________； 当退出时，可进一步推出的度数为_______； 可得到与度数的比值为_________． （2）当时，请你画出图形，研究与度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明． 8、直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且． （1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ； （2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明． A A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3 9、(1) 如图1,在正方形ABCD