毕业论文设计《Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系》.docVIP

学号：********** ***师范大学 学士学位论文 题 目 Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系 学 生 *** 指导教师 *** 讲师 年 级 2009级 专 业 数学与应用数学专业 系 别 数学系 学 院 数学科学学院 Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系 摘要：Riemann积分与Lebesgue积分，这两种积分在分析数学中占有很重要的地位,它们之间既有区别又有联系，都曾在数学的发展史上发挥过巨大的作用.本文主要通过对Riemann积分和勒Lebesgue积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键字：Riemann积分 Lebesgue积分 可测集 区别 联系 积分是整个分析数学中最基本的概念，现有的积分有两种形式：一种是作为近代数学核心的Riemann积分(下文简称积分)，一种是作为现代实变函数论核心的Lebesgue积分（下文简称积分），这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别. Riemann积分的定义 设是定义在上的有界函数，任取一分点组T 将区间分成n部分，在每个小区间上任取一点,1,2,3,….作和 令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上的黎曼积分，记为 Lebesgue积分的定义 设是一个勒贝格可测集，，是定义在上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组 记 并任取（我们约定，当时，），作和 如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作 三、Riemann积分与Lebesgue积分在定义上的比较 1、“极限式”定义的比较 1）Riemann积分的“极限式”定义　 设f(x)是定义在闭区间的有界函数，对区间的任一个分 T：，记，λ=max,任取 ζ，i=1,2,3,...,n作和，并求极限，若该极限存在，则称在上Riemann可积。 并把该极限称为在上的积分，记作 Lebesgue积分的“极限式”定义 设f(x）是定义在可测集上的有界可测函数，且mE∞,存在使.若对的任一划分D：，记，对任意，作和，并求极限,若该极限存在,则称在上是Lebesgue可积的,并把该极限称为在上的积分，记作. 由上述定义可见, R 积分的极限式定义和L积分的极限式定义的共同点是都作分划, 求和, 极限, 但R积分的极限式定义中是对定义域作的划分, 而在L积分的极限式定义中是对值域作的划分. “确定式”定义的比较 Riemann积分的“确定式”定义 设函数在闭区间上有界，对任意分划记为函数在上的上确界，为函数在上的下确界，相对于分划作和称为函数关于分划的大和数，称为函数关于分划的小和数，记，称为在上的上积分，记，称为在上的下积分.如果则称在上可积，并称此时的共同值为在上的积分，记作 　Lebesgue积分的“确界式”定义 　设是一个非空可测集，其中各个Ei 为互不相交的非空可测集,是任意一个可测分划, 记为函数在上的上确界，为函数在上的下确界，相对于分划作和称为函数关于分划的大和数，称为函数关于分划的小和数,记称为在上的上积分，记，称为在上的下积分，如果则称在上积分，记作. 由以上两个定义可以看出L积分的“确界式”定义与R积分的“确界式”定义在形式上完全类似,都是先对积分区域进行划分，定义关于划分的大和与小和；然后，定义大和的下确界为上积分,，小和的上确界为下积分；最后, 规定如果上下积分相等则称被积函数在积分区域上积。但两定义并不完全相同， 其主要区别来看下面几点： 积分区域方面：积分中的积分区域是闭集，积分中的积分区域是可测集,而闭集包含于可测集，所以积分较积分域要更一般些。 ( 2)分划方面: 积分把定义域划分为自变量很靠近的小区间,而积分把定义域划分为函数值很靠近的一些小集合. ( 3)测度方面:在R积分中采用的是约当测度;在L积分中采用的是勒贝格测度. ( 4)被积函数方面： 积分理论中的被积函数都是基于它是有界的这一前提，而积分中对被积函数的要求则是可测. ( 5)在积分中有界, 条件可以去掉，而积分不行. Riemann积分与Lebesgue积分在性质上的比较 可积函数的连续性 连续函数是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是勒贝格可测函数，那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件： 函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集. 这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的.例如黎曼函数 这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函