毕业论文设计《Poisson分布的参数估计》.docVIP

第 PAGE 16 页 共 NUMPAGES 16 页 Poisson分布的参数估计 摘要 泊松分布是概率统计学科中一种重要的离散分布，在参数估计这块，对点估计，矩估计，最大似然估计以及近似的区间估计等，该文中对泊松分布的相关知识，包括其性质，参数的相关估计，研究了泊松分布的一些性质，参数的估计，以及一些在生活中的简单应用。 关键词 分布 参数估计 性质 简单应用 1 引言 Poisson分布是离散型随机变量作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，其中可能取值为0，1，2，……而取各个值的概率为： 其中是常数，称服从参数为的泊松. 1.1相关定义 1. 离散型随机变量的函数分布律，若级数绝对收敛，称级数为随机变量的数学期望， =. 2. 定理：是随机变量的函数，是连续函数），是离散型随机变量，若绝对收敛，则 =. 3. 随机变量，若存在，则称为的方差，记为或，即 ==. （与有相同的量纲），称为标准差或均方差。 注记：是刻画取值分散程度的一个量，也可以看成是函数=的数学期望。离散型随机变量， =. 其中是的分布律。= 2 性质 2.1.Poisson分布中 具有 即满足 我们知道，无论是离散型或是非离散型的随机变量都可以借助分布函数 来描述，落在任意区间的概率. . 2.2 数字特征 2.21 数学期望 Poisson分布： = 2.22 方差 Poisson分布： ，的方差. 由上知，Poisson分布的数学期望为参数， = Poisson分布==，也就是说在Poisson分布中只含有一个参数，只要知道一个Poisson分布的数学期望或者方差就能够完全确定它的分布。 3 相关定理 定理【1】 随机变量服从二项分布，其分布律为 又设是常数，则 . 证明 由得： = 显然当k=0时,故。当且时，有 ， 从而 ， 故 . 定理 [ 2 ] 设是服从参数为的泊松分布的随即向量,则: 证明 已知的特征函数为,故的特征函数为： 对任意的t,有 . 于是 从而对任意的点列，有 . 但是是分布的特征函数,由于分布函数列弱收敛于分布函数的充要条件是相应的特征函数列收敛于的特征函数. 所以 成立;又因为是可以任意选取的,这就意味着 成立. 4 参数估计 4.1 Poisson分布参数的点估计 。 为估计母体的参数值的大小，具体抽取样本值。再把样本值放入原来的样本。构造统计量。把代入得的统计值用作的近似值，用来计算参数的估计值的统计量称为参数 的估计量。 4.2 参数的两个最大似然估计 0为未知参数 设为子样一组观测值 似然函数 是的可导函数，用导数求极值得 得使达到极大值，从而得的极大似然估计量。 设的函数具有单值反函数，又设是的概率分布中参数的最大似然估计，则为最大似然估计。 易知，由的单调性，得的一个最大似然估计为 在讨论估计量的性质之前，给出该参数的另一个最大似然估计量。对样本做如下变换： 这样得到来自总体的样本，其中服从两点分布， 其中，这正是待估计的参数。容易知道的最大似然估计为的样本均值， 其中 为示性函数。这样我们就得到同一个参数的两个最大似然估计量： 由于前者利用了泊松分布的信息，而后者没有利用分布信息，所以称前者为“参数的最大似然估计”，后者为“非参数的最大似然估计”。 4.3 参数的无偏估计 当总体为泊松分布时，即 未知参数，可以证明样本均值和样本方差都是总体参数的无偏估计。推广到一般情况，对任意的实数也都是的无偏估计，即或或。 引理1 设是来自该总体泊松分布的一个样本，则。 证明 因为，且和相互独立， 的概率分布为 即 . 由归纳法得到 . 结论1 设函数，可以证明的无偏估计为，而不是. 证明 有引理1， . 而 . 结论 2 已知函数 可以证明的无偏估计为 （取偶数值时为1，取奇数值时为-1）， 而不是. 证明 令估计量，而 结论 3 再考虑也是未知参数的一个函数，但它的无偏估计不是而是. 证明 而 结论 4 已知函数，可以证明的无偏估计为 而不是。 证明 。 令估计量，而 . 一般性结论 命题1 无偏估计不一定存在。 比如，设样本来自二项分布总体，样本量为1，已知，而未知，，函数的无偏估计不存在。 命题 2 设 和分别是未知参数的可估函数和的无偏估计量，则是的无偏估计量。这里，为任意实数。 证明 因为， 又因为 ， 所以是的无偏估计量。 命题 3 无偏估计量不一定唯一。 样本均值和样本方差都是总体参数的无偏估计。 命题 4 能借助的无偏估计来求的无偏估计。 设总体服从指数分布总体，从总体中抽取一组样本，设是的无偏估计量