2015年福建省高一数学竞赛试题以及参考 答案.docVIP

PAGE PAGE 7 2015年福建省高一数学竞赛 （考试时间：5月10日上午8：30－11：00） 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.集合的子集有（ ） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 2．若直线与直线：关于直线对称，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A．1 B． C． D． 3．给出下列四个判断： （1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。 （2）对平面，和直线，若，，则。 （3）对平面，和直线，若，，则。 （4）对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则。 其中正确的判断有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知正方体，为中点，则二面角的正切值为（ ） A．1 B． C． D． 5．已知为等腰直角三角形，，，为中点，动点满足条件：，则线段长的最小值为（ ） A． B．2 C． D．4 6．记，，，，则，，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． （必要时，可以利用函数在上为增函数，在上为减函数） 二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知为奇函数，为偶函数，且，则 。 8．已知直线：的倾斜角为，若，则的取值范围为 。 9．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，则与平面所成角的正弦值为 。 10．函数的最小值为 。 11．已知函数（，且）在区间上的最小值为，则在区间上的最大值为 。 12．若实数，满足条件：，则的最小值为 。 三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．在中，已知点，，且它的内切圆的方程为，求点的坐标。 14．已知（，，），且对任意实数，恒成立。 （1）求证：； （2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值。 15．如图，、分别是的中线和高线，、是外接圆的切线，点是与圆的交点。 （1）求证：； （2）求证：平分。 16．已知正整数，，（）为的三边长，且，求的最小值。其中表示的小数部分，即（表示不超过的最大整数）。 17．已知集合。集合是的子集，且在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍。求的最大值。（其中表示集合的元素的个数）. 2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月10日上午8：30－11：00） 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.集合的子集有（ ） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 【答案】 C 【解答】由，知，结合，得。 ∴ 的子集有个。 2．若直线与直线：关于直线对称，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】 D 【解答】在直线：取点，则关于直线的对称点在直线上。 又直线与直线的交点在直线。 ∴ 过和两点，其方程为。 ∴ 与坐标轴交于和两点，与坐标轴围成的三角形的面积为。 3．给出下列四个判断： （1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。 （2）对平面，和直线，若，，则。 （3）对平面，和直线，若，，则。 （4）对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则。 其中正确的判断有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 B 【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。 对于（1），设，过和的平面为，则当点在平面内，且不在直线上时，找不到直线同时与，都相交。 4．如图，已知正方体，为中点，则二面角的正切值为（ ） A．1 B． C． D． 第4题 第4题 图 【解答】如图，作于，作于，连结。 由为正方体，知，。 又。因此，，。 ∴ 为面角的平面角。 设正方体棱长为，则，。 第4题答题图图 第4题答题图图 5．已知为等腰直角三角形，，，为中点，动点满足条件：，则线段长的最小值为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】 B 【解答】以所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系。则、、。 设，由，知。 ∴ ， 即，化简，得。 ∴ 。 ∴ 时，有最小值2。此时，。 6．记，，，，则，，，的大小关系为（ ） A． B． C