几何定理证明.docVIP

几何定理证明 HYPERLINK /search?word=%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%AE%9A%E7%90%86fr=qb_search_expie=utf8 \t _blank 重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 先证明交于一点，如图一中线AD、BE交于G，延长CG交AB于F，即证明F为AB中点即可，延长GD至H使GD=DH，又BD=DC∴BDCG为平行四边形，∴BE∥CH，CF∥BH，又E为AC中点， EG为中位线，∴G为AH中点，又CF∥BH，∴ FG为中位线，即F为AB中点，∴三条中线交于一点。 再证明2倍问题 证明1：如图：△ABC的中线AD、BE交于G（重心），求证：AG＝2GD 取CE的中点F，连接DF， 则 CE＝2EF＝AE ， ∴DF是△BCE的中位线， ∴GE∥DF ， AG／GD＝AE／EF＝2， ∴AG＝2GD 。 证明2：面积法（三条中线将三角形分成6个面积相等的三角形） △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∵D、E、F为中点 ∴S△CAD=S△CDB=S△ABE=S△ACE=S△ABF=S△BCF =S△ABC／2 ∴S△ADG=S△CEG=S△BEG 同理S△BDG=S△BEG ∴S△ABG=2S△BEG ∴AG／GE=2即AG=2GE 证明3：相似三角形 △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。 ∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH/AE=DH/BE=HF/EC, BE=EC, ∴DH=HF) ∴HF=DF/2 , BE=BC/2， 又可由①知HF=BE/2 ∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH。 ∴△BGE∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。∴BG=（2/3）BF 2、 HYPERLINK /search?word=%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%AE%9A%E7%90%86fr=qb_search_expie=utf8 \t _blank 外心定理：三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。 已知：如图8-21所示， PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。 求证：PD、NE、MF交于一点O。 思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。然后再证明D是BC的中点。 证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。 ∵ MF⊥AB于F，AF=FB； ∴ OA=OB； ∵ NE⊥AC于E，AE=EC； ∴ OA=OC； ∴ OB=OC； ∵ OD⊥BC于D； ∴ POD是BC边上的中垂线。 ∴ NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。 结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。 3、垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 证明1：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点H，连接CH并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 　证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E HYPERLINK /z/Search.e?sp=S%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86ch=w.search.yjjlinkcid=w.search.yjjlink \t _blank 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAH=∠DAC ∠AEH=∠ADC　 ∴ΔAEH∽ΔADC　　∴AE/AH=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔHAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE　　又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB　　因此，垂心定理成立 证明2：（利用外心定理来证明），如图过A、B、C分别做BC、AC、AB的平行线相交于A、B、C, ∵AD⊥BC，BC//BC ∴DA⊥BC ∵BC//BC，A C//AC ∴四边形BCA C与四边形BCA B为平行四边形 ∴AC=A B 即A为BC中点，又DA⊥BC ∴DA为BC中垂线 同理可证EB、CF为A C、A B中垂线 ∴AD、BE、CF交于一点（外心定理） 4、 HYPERLINK /search?word=%E5%86%85%E5%BF%83%E5%AE%9A%E7%90%86fr=qb_search_expie=utf8 \t _blank 内心定理：三角形的三内 HYPE