立体几何(几何法)—线面角.doc

立体几何（几何法）—线面角 例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。 （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。 【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD. 设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2eq \r(2)， PA＝2，PE＝2EC，故 PC＝2eq \r(3)，EC＝eq \f(2\r(3),3)，FC＝eq \r(2)， 从而eq \f(PC,FC)＝eq \r(6)，eq \f(AC,EC)＝eq \r(6). 因为eq \f(PC,FC)＝eq \f(AC,EC)，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF. PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC. BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝eq \r(PA2＋AD2)＝2eq \r(2). 设D到平面PBC的距离为d. 因为AD∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，故AD∥平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝eq \r(2). 设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝eq \f(d,PD)＝eq \f(1,2). 所以PD与平面PBC所成的角为30°. 方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz. 设C(2eq \r(2)，0,0)，D(eq \r(2)，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),3)，0，\f(2,3)))，B(eq \r(2)，－b,0)． 于是eq \o(PC,\s\up6(→))＝(2eq \r(2)，0，－2)，eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，b，\f(2,3)))，eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，－b，\f(2,3)))，从而eq \o(PC,\s\up6(→))·eq \o(BE,\s\up6(→))＝0， eq \o(PC,\s\up6(→))·eq \o(DE,\s\up6(→))＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE. 又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE. (2)eq \o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,2)，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，－b,0)． 设＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则·eq \o(AP,\s\up6(→))＝0，·eq \o(AB,\s\up6(→))＝0， 即2z＝0且eq \r(2)x－by＝0， 令x＝b，则＝(b，eq \r(2)，0)． 设＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则 ·eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，·eq \o(BE,\s\up6(→))＝0， 即2eq \r(2)p－2r＝0且eq \f(\r(2)p,3)＋bq＋eq \f(2,3)r＝0， 令p＝1，则r＝eq \r(2)，q＝－eq \f(\r(2),b)，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),b)，\r(2))). 因为面PAB⊥面PBC，故·＝0，即b－eq \f(2,b)＝0，故b＝eq \r(2)，于是＝(1，－1，eq \r(2))，eq \o(DP,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)，－eq \r(2)，2)， cos〈，eq \o(DP,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\o(DP,\s\up6(→)),|n||\o(DP,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)， 〈，eq \o(DP,\s\up6(→))〉＝60°. 因为PD与平面PBC所成的角和〈，eq \o(DP,\s\up6(→))〉互余， 故PD与平面PBC所成的角为30°. 例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分） 如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2eq \r(3)，PD＝CD＝2. (1)求异面直线PA与BC所成角的正切值； (