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【知识梳理】
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力,我们大家都习惯四则运算,定义新运算就打破了运算规则,要求我们要严格按照题目的规定做题.新定义的运算符号,常见的如△、◎、※等等,这些特殊的运算符号,表示特定的意义,是人为设定的.解答这类题目的关键是理解新定义,严格按照新定义的式子代入数值,把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一、 定义新运算
基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等.
如:2+3=5 2×3=6
都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.
二、 定义新运算分类
1.直接运算型
2.反解未知数型
3.观察规律型
4.其他类型综合
【分类型例题分析】
一、直接运算型
例 1 若表示,求的值
例 2 定义新运算为a△b=(a+1)÷b,求的值。6△(3△4)
例 3 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,,那么
例 4 规定运算“☆”为:若a>b,则a☆b=a+b;若a=b,则a☆b=a-b+1;若a<b,则a☆b=a×b。那么,(2☆3)+(4☆4)+(7☆5)= 。
例 5 对于非零自然数a和b,规定符号的含义是:ab=(m是一个确定的整数)。如果14=23,那么34等于________。
例 6 规定:符号“&”为选择两数中较大数的运算,“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式:
[(7◎3)& 5]×[ 5◎(3 & 7)]
二、反解未知数型
例 1 如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时, a= .
例 2 如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x= ?
例 3 对于数a、b、c、d,规定,< a、b、c、d >=2ab-c+d,已知< 1、3、5、x >=7,求x的值。
例 4 定义新运算为,⑴求的值;⑵若则x的值为多少?
三、观察规律型
例 1 规定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5=
例 2 有一个数学运算符号,使下列算式成立:
,,,,求
四、综合型题目
例 1 如果a、b、c是3个整数,则它们满足加法交换律和结合律,即⑴a+b=b+a;⑵(a+b)+c=a+(b+c)。现在规定一种运算"*",它对于整数 a、 b、c 、d 满足:(a,b)*(c,d)=(a×c+b×d,a×c-b×d).如:
请你举例说明,"*"运算是否满足交换律、结合律。
例 2 对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”,规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算。又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。
【强化练习】
设△,那么,5△______,(5△2) △_____.
“△”是一种新运算,规定:a△b=a×c+b×d(其中c,d为常数),如5△7=5×c+7×d。如果1△2=5,2△3=8,那么6△1OOO的计算结果是________。
如果规定a※b =13×a-b ÷8,那么17※24的最后结果是______。
羊和狼在一起时,狼要吃掉羊.所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示:羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼,以上运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算,用符号☆表示:羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼,这个运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼,可以用上面规定的运算作混合
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