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几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换 ①、等底等高的两个三角形面积相等 ②、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1 ③、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图2 ④、在一组平行线之间的等积变形，如图3 图1 图2 图3 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。 解：S△ADC=12S△ABC=12×24=12 S△ADE=12S△ADC=12×12=6；S△DEF=12S△ADE=12×6=3 （2）鸟头（共角）定理模型 ①、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； ②、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 ? 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 S△ABCS△ADE=AB×ACAD×AE 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。 解：由题意知：S△ABCS△ADE=AB×ACAD×AE=52×53=256 ∴S△ABC=256×S△ADE=256×12=50平方厘米 （3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ① S2=S4梯形两翼相等 ② S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab ③ 梯形S对应的分数为（a+b)2 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 解：S△AOB:S△BOC=25:35=5:7 S△AOB:S△DOC=AB2:DC2=52:72=25：49 ∴S△DOC=49 又S△AOD=S△BOC=35 ∴SABCD=25+35+35+49=144平方厘米 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① S1:S2=S4:S3或S1×S3=S2×S4 ② AO:OC=S1:S4=S2:S3=S1+S2:(S4+S3) 例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2，求OC 解：AO:OC=S△ABD:S△BCD=1:3 OC=2×3=6 （4）相似模型 ? 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； ? 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相 交，所构成的三角形与原三角形相似。 ? 3、相似三角形性质： ? ?①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ? ?②相似三角形周长的比等于相似比； ? ?③相似三角形面积的比等??相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！ ① ADAB=AEAC=DEBC=AFAG ② S△ADE:S△ABC=AD2:AB2 例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少？ 解：BF:FC=BE:CD=4：16=1：4 FC=10×41+4=8 （5）燕尾模型 ① S△AGB:S△AGC=S△BGE:S△CGE=EB:EC ② S△BGA:S△BGC=S△GFA:S△GFC=FA:FC ③ S△CGA:S△CGB=S△GDA:S△GDB=DA:DB 例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。 解：连接CF，设S△BDF=1份， 则S△CDF=2份，S△ABF=2份 则S△AFC=4份，S△CFE=4×35=2.4份 S△ABC=9×222+2.4=45（平方厘米） 二、巩固练习 1、如右图，AD=DB，AE=EF=FC，阴影部分的面积为5平法厘米，△ABC的面积是__________平方厘米。 2、如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，其中EC=3AE，AD=2DB，并且△ABC的面积为1平方厘米，求△ADE的面积？ 3、如图，△ABC的面积为1，其中AE=3AB，BD=2BC， △BDE的面积是多少？ 4、如图，△ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD=3AE，EF=3BF，那么△AEF的面积是多少平方厘米？ 5、如图，在???方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积 6、如图，DE平行BC，若AD:DB=2：3，那么S△A