生活中的优化问题举例三课时.ppt

R r 例3：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r与R 的环行区域。 是不是r越小，磁盘的存 储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：存储量=磁道数×每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n，且最外面的磁道 不存储任何信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁 道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须 装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量 （1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大. (2)为求 的最大值，计算 令 解得 因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大 存储量为 练习1:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省? R h 解 设圆柱的高为h,底面半径为R. 则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 又V=πR2h(定值), 即h=2R. 可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省. x y 练习2： 如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. 解:设B(x,0)(0x2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0x2). 令 ,得 所以当 时, 因此当点B为 时,矩形的最大面积是 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是： 优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。 解决生活中的优化问题的基本步骤 1、建立实际问题的数学模型，写出函数 关系式 ； 2、求函数的导数 ，求出极值点; 3、确定最大（小）值； 4、作答。 作业：课本P37 必做 A组5 选做B组2 * * * 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 * * 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 生活中的优化问题举例 一、如何判断函数的单调性？ f(x)为增函数 f(x)为减函数 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， 二、如何求函数的极值与最值？ 求函数极值的一般步骤 （1）确定定义域 （2）求导数f’(x) （3）求f’(x)=0的根 （4）列表 （5）判断 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题. 例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 图3.4-1 分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？ 你还有其他解法吗？例如用基本不等式行不？ 因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 解法二：由解法(一)得 2、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值. 说明 1、设出变量找出函数关系式； (所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义。 练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？ 解： 结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。 变式:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形场地.如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时,围成的场地面积最大? y′=-x+20 令y′=0得,x=20 当0