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完全数: 如果一个数除去这个数本身不算外，其他所有因数的和还等于这个数，就把这个数叫做完全数。完全数是一些特殊的自然数。比如6，就是一个完全数。因为6的因数是1、2、3、6。除去6不算，1+2+3=6。这证明了6是最小的完全数。 28、496、8128、130816.....这些都是完全数。现在数学家们用电子计算机来验算，已经找到有好几万位的数值非常大的完全数。事实上，至今，人类只发现了44个完全数。 费马(Fermat):数论大师 费马大定理： n2是整数，则方程xn+yn=zn没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家证明了(1995年)，证明的过程是相当艰深的！ 费马小定理： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a (p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 . 成果： (1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。 (2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。? (3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。? (4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。 (5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。 (6)发现了第二对亲和数：17296和18416。 (7)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。 Number Theory 专业基础课程 铜仁学院 陈尽东 开课介绍 铜仁学院 陈尽东 Email:trcjd@163.com 研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等。 初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。 初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。 中外数论科学家 毕达哥拉斯,古希腊,初等数论的先驱。大约生于公元前580年-500 年。最大贡献“毕达哥拉斯定理”（勾股定理）。 中外数论科学家 欧几里德，公元前4世纪，《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。 中外数论科学家 拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 中外数论科学家 高斯，（1777年4月30日—1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。 中外数论科学家 欧拉，1707年出生在瑞士。18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。 中外数论科学家 费马，1601～1665 ，法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。“费马大定理 ”、 “费马小定理 ”。 中外数论科学家 中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年， 西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。 素数 (质数) ： 所谓素数，就是一个正整数，它除了本身和 1 以外并没有任何其他因子。素数就好象是正整数的原子一样，著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。但是至今仍然没有一个一般的特别使用的式子可以表示所有的素数。 1、哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture) “所有的大于2的偶数，都可以表示为两个素数”。 哥德巴赫猜想有两个内容： 第一部分叫做偶数的猜想; 第二部分叫做奇数的猜想。 偶数的猜想是说，大于等于6的偶数一定是两个奇素数的和。奇数的猜想指出，任何一个大于等于9的奇数都是三个奇素数的和。 例如： 哥德巴赫猜想的历程 1920年，挪威的布朗证明了 “9+9 ”。 1924年，德国的拉