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教案精选：小学六年级数学《不定方程与整数》教学设计 　　 教案精选：小学六年级数学《不定方程与整数》教学设计 　　不定方程与整数分拆 　　求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题． 　　补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题]. 　　解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解． 　　本讲讲解顺序：③ 包括1、2、3题 ④ ② ①包括4、5题 ③ 包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题． 　　复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程． 　　整数分拆问题：11、12、13、14、15． 　　 1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个? 　　 　　【分析与解】 设这个两位数为 ，则数字和为 ，这个数可以表达为 　　，有 　　即 ，亦即 ． 　　注意到 和 都是0到9的整数，且 不能为0，因此 只能为1、2、3或4，相应地 的取值为2、4、6、8． 　　综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48． 　　 2．设A和B都是自然数，并且满足 ,那么A+B等于多少? 　　 　　【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3． 　　3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支? 　　 　　【分析与解】设购买甲级铅笔 支，乙级铅笔 支． 　　 有7 +3 =50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法： 　　 将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)： 　　 得 =2(mod 3)，所以 可以取2，此时 取12； 还可以取2+3=5，此时 取5； 　　即 、 ,对应 为14、10 　　所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支． 　　4．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元? 　　 　　【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张， 　　列方程如下： 　　 由 　　(2)(1)得 ③ 　　注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元． 　　5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米? 　　 　　【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米． 　　另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米． 　　因此剩余部分的管子最少是2厘米． 　　6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工? 　　【分析与解】设男职工 人，孩子 人，则女职工3 - 人(注意，为何设孩子数为 人，而不是设女职工为 人)， 　　那么有 =216，化简为 =216，即 =72． 　　有 . 　　但是，女职工人数为 必须是自然数，所以只有 时， 满足． 　　那么男职工数只能为12名 　　7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的? 　　 　　【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别 ， 根，则0.7 +0.8 =3.4 　　3.6，… 　　 即7 +8 =34，36，37，38，39 　　 将系数，常数对7取模，有 ≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是 最小分别取6,1, 　　2，3，4． 　　 但是当 取6时，8×6=48超过34， 无法取值． 　　所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的． 　　8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封? 　　 　　【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量