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第六章 化工最优化方法 ——规划求解 6.1规划求解方法及其常用算法 6.1.1规划求解方法概述 6.1.2 单变量最优化问题 6.1.3 线性规划 6.1.4 无约束多变量问题最优化 6.1.5 二次规划 6.1.6 非线性规划 6.1.7 多目标最优化 6.2 化工过程的设计优化 6.3 化工过程的操作优化 6.4 其它化工优化问题 6.5 全局最优化问题 6.1 规划求解及其常用算法 为了完成一项任务或达到一定的目的，怎样用最少的人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或达到一定的目的，这个过程就是规划。它是运筹学的一个重要分支。 通过在一组约束条件的限制下，求目标函数极值的问题，故又称为最优化方法 最优化方法已成为化学工程设计、项目论证、工艺变革及集成、经营管理等方面的一个重要手段。具体内容有： 化学化工过程设计； 工艺操作参数的优化； 过程优化控制； 最优生产调度； 最佳资源配置等。 6.1.1 规划求解方法概述 基本概念 目标函数 最优化问题均涉及到一个具体的最优目标，如产品收率最终大、能耗最小、纯度要求、成本最终低等。把目标写成数学形式的表达式称为目标函数。 约束条件与状态方程 变量取范围通常都有一定的限制，这种限制称为约束条件： 不等式约束条件 限制条件写成不等式形式 等式约束条件 以等式形式进行限定 在化工过程的最优化问题中，物料衡算式、热平衡方程、动量守衡式均属等式约束，又称为系统或系统的状态方程。 6.1.1 规划求解方法概述 决策变量和状态变化、系统自由度、 状态变量 能描述系统的特征、行为的一组变量，其值应根据实际情况选取； 决策变量 由决策者根据目标或约束条件而确定操作变量或控制变量，在化工系统中通常将能控制的变量如温度、压力、流量等做为决策变量。 自由度 在最优化问题中决策变量的个数称为自由度 在确定系统的状态变量与决策变量时必须遵循的原则： 状态变量数 ＝ 状态方程数 决策变量数 ＝ 变量总数－状态变量数 6.1.1 最优化方法概述 规划求解问题的一般形式： 6.1.2 规划求解问题的分类 根据变量、目标函数和约束条件的不同，最优化问题可分为： 根据目标函数与状态方程的线性与非线性关系可分： 线性优化 非线性优化 有无约束条件 无约束条件优化 有约束条件优化 目标函数的个数： 单一目标函数优 多目标优化 6.1.2 规划求解问题的分类 6.1.2 规划求解问题的分类 例2 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为机器10小时、机器8小时和机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产台甲机床和乙机床时总利润最大，则应满足 目标函数 约束条件 s.t. 6.1.2 规划求解问题的分类 例3、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。试建立此问题的数学模型。 6.1.2 单变量优化问题 数学模型： 求解单变量函数最优化方法有时又称一维搜索法，可根据情况采用： 1、选择初始点，尽量靠近最优解 2、产生方向，使得 f(x) 从x (k)出发,沿着方向d (k) ，可以找到xk+1)，有所下降。 3、方向d (k)确定后，求λ 使得f(x)下降最多，即求f(x(k)+λd(k))对λ的极值。 4、检验新得到的迭代点是否满足要求。 6.1.2 单变量优化问题 直接法 目标函数是不需要求导，收敛速度较慢 黄金分割法 算法简单、稳定 二次多项式近似法 三次多项式似近法 间接法 需要用到目标函数的导数，收敛速率较快 牛顿切线法 割线法 三次插值法 收敛速度快，若目标函数易求导，可优先考虑 6.1.2 单变量优化问题 对分法 在区间[a,b]上，f’(a)0,f’(b)0,则在a， b之间必有f(x)的极小点，为了找到极小点，取试探点 X(k)=(a+b)/2,若f’(X(k))0,则取[a, X(k)]为新区间， 若f’(X(k)) 0,则取[X(k), b]为新区间. 直到， f’(X(k))充分小或区间充分小时停止 取当前区间的中点为极值点。 6.1.2 单变量优化问题 黄金分割法(0.618法）Golden Section