第七讲 MATLAB中求方程的近似根解.doc

PAGE PAGE 1 第七讲　MATLAB中求方程的近似根(解) 教学目的：学习matlab中求根命令，了解代数方程求根求解的四种方法，即图解法、准解析法、数值方法以及迭代方法，掌握对分法、迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程；掌握求代数方程（组）的解的求解命令． 教学重点：求方程近似解的几种迭代方法，代数方程（组）的解的求解命令的使用方法.利用所学的编程知识，结合具体的实例，编制程序进行近似求根．掌握相关的代数方程（组）的求解命令及使用技巧． 教学难点：方程的近似求解和非线性方程（组）的求解． 一、问题背景和实验目的 求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程． 当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．同时对于多未知量非线性方程(组)而言，简单的迭代法也是可以做出来的，但在这里我们介绍相关的命令来求解，不用迭代方法求解． 通过本实验，达到下面目的： 1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程； 2. 求代数方程（组）的解． 首先，我们先介绍几种近似求根有关的方法： 对分法 对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根． 设在上连续，，即 ，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点 ，使． 下面的方法可以求出该根： 令，计算； 若，则是的根，停止计算，输出结果． 若 ，则令，，若，则令，；．……，有、以及相应的． (3) 若 (为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果； 反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)． 以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根． 当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有 以上公式可用于估计对分次数． 分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值． 2. 迭代法 a) 松弛法：由方程构造一个等价方程 ． 则迭代方程是： ，，其中． 松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛． b) Altken方法： 松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式： ； ； ， 这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)． 3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法） 是非线性方程 其迭代公式为： 即为牛顿法公式. 牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值． 因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度． 以下是本实验中的几个具体的实验 具体实验1：对分法 先作图观察方程：的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．程序如下： function [y,p]=erfen() clc, x=[];a=[];b=[]; a(1)=1;b(1)=2; i=1;x(i)=(a(i)+b(i))/2; e=abs(f(x(i))); ezplot(x^3-3*x+1,[a(1),b(1)]);hold on, plot([a(i),b(i)],[0,0]) while e10^(-5) plot([a(i),a(i)],[0,100],[x(i) x(i)],[0 100],[b(i) b(i)],[0 100]),pause(0.5) if f(a(i))*f(x(i))0 a(i+1)=a(i);b(i+1)=x(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2; else a(i+1)=x(i);b(i+1)=b(i);x(i+1)=(a(i+1)+b(i+1))/2; end e=abs(f(x(i)));i=i+1; end y=x(i);p=[a;x;b] function u=f(x) u=x^3-3*x+1; end end 图形如下: 结果为：1.5321 具体实验2：普通迭代法 采用迭代过程：求方程在 0.5 附近的根，精确到第 4 位小数． 构造等价方程： 用迭代公式： ， 具体实验3：迭代法的加速1——松弛迭代法 ，， 迭代公式为 clc;x=[];w=[]; x(1)=1;w(1)