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第九章 杆类构件的变形
习 题
9.1 单元体ABCD的边长为dx、dy,其,但其应变为,试求与x和y都成 45°方向的AC线的线应变。
解:变形后的在方向上的投影为,如下图所示:
由题意易知,
故:在与x和y都成 45°方向的AC线的线应变图示三角形薄板因受外力作用而变形,角点B垂直向上的位移为0.03 mm,AB和BC仍保持为直线。试求沿OB的平均应变,并求AB和BC两边在B点的。
题9.2图
解:变形后的图形为:
由图易知:OB=120mm,=120.03mm,=169.73mm
(1)OB方向上的平均应变
(2)由角应变的定义可知,在B点的角应变为
9.3 在轴向压缩试件的A及B处分别安装两个杠杆变形仪,其放大倍数为KA=1200, KB=1000,标距均为s=20 mm受压后杠杆仪的读数增量为 mm, mm,试求此材料的。
解:由泊松比的定义知:
本题中:
=0.33
9.4 求简单结构中节点A的位移中节点A的位移,设各杆的抗拉(压)刚度均为E。
解:(a)结构中A点的受力平衡,经受力分析,易得杆AB、AC的轴力:
(拉)
结构的最终变形如下图所示:
位移为所求。
根据胡克定律,得:
由上图所示的变形得几何关系,可得:
(b) 由点A的平衡可得杆BA、AD的轴力分别为
,(拉)
由点B的受力图如下图所示,由平衡条件,可得杆BC、BD的轴力分别为:
(拉),(压)
采用以切线代替回弧线的方法,画出B点的变形图,如下图所示:
由几何关系,可得B点的垂直位移为:
点A的水平位移和铅垂位移分别为
9.5 如图所示的桁架,两杆材料相同,AB 杆的横截面面积A1=100 mm2,AC 杆的横截面面积 A2=80 mm2,弹性模量 E =210 GPa,铅垂力F=20 。求 A 点的位移。
解:以点A为研究对象,作受力图。
利用静力学平衡条件
可求得杆AB和AC的轴力分别为
9.6 混凝土柱尺寸如图所示,柱的弹性模量E=20 GPa,柱受压力F=N的作用,若不计柱自重的影响,求柱的压缩量。
解:设距柱体底面高度处的正方形横截面的变为a,面积为A,则由几何关系可得
解得
于是
柱体内的轴力恒为
柱体的总变形
9.7 如图所示两根粗细相同的钢杆上悬挂着一刚性梁 AB,今在刚性梁上施加一垂直力 F。欲使梁 AB 保持水平位置(不考虑梁自重)。求:加力点位置 x与 Fl之间的关系。
解:先求CK、HE杆的轴力、与x的关系,取AB杆为研究对象,其受力如图所示,由平衡条件可得
解之得 , .
由胡克定律可得两杆的轴向伸长量分别为
要使CG杆保持水平的条件为 =
解之得
9.8 图示结构,已知杆的直径,,。设杆为刚杆,若杆的许用应力,求最大铅垂位移。
则: (1)
(2)
(1)(2)联立得:
由图示变形关系易得:
即:D端的最大竖直位移为
9.9 钢制空心圆轴的外径 D =100 mm,内径 d =50 mm。要求轴在 2 m 内的最大扭转角不超过 1.5°,材料剪切弹性模量 G =82 GPa。求:(1)该轴所能承受的最大扭矩;(2)此时轴内的最大切应力。
由公式得:
(2)由题意知:
9.10 如图所示为钻探机钻杆。已知钻杆的外径 D = 60 mm,内径 d =50 mm,功率 P =10 马力,转速 n =180 r/min。钻杆钻入地层深度 l=40 m,G =81 GPa,[τ]=40 MPa。假定地层对钻杆的阻力矩沿长度均匀分布。求:(1)地层对钻杆单位长度上的阻力矩 Me;(2)作钻杆
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