2011级模拟题2 高数.ppt

* 2011级模拟题2 一、选择题 B 1. 设平面曲线L为下半圆周 则曲线 =( ). 积分 A. ?ln2 B. 2?ln2 C. 3?ln2 D. 4?ln2 解: 由于曲线L的方程为 x2+y2=4, 其弧长为2?, 代入曲线积分得: = 2?ln2. 故答案为B. 2. 下列级数发散的是( ). D 解: 由于 不存在, 即?0. 故答案为D. C 3. 设函数x3+y3+z3+xyz=6, 则 = ( ). 解: 方程两边对x求偏导, 得 3x2 +3z2 + yz +xy =0, 再将点(1, 2, –1)代入上式, 得 解得, 3+3 –2+2 =0, 故答案为C. A 4. 要使f(x, y) = 在点(0, 0)连续, 应定义 f(0, 0) = ( ). 解: 由于 故答案为A. 二、填空题 1. (A班做)? 是球面x2+y2+z2=a2, 则曲面积分 = ( ). 解: 由曲面的对称性, 对面积的曲面积分 所以 其中? 是半径为a的球面, 其面积为4?a2. (管理做)若函数f(x, y) = 2x2 – ax + xy2 + 2y 在点(1, –1)处取得极值, 则常数a = ( ). 5 故 fx(1, –1) = 4x – a + y2|(1, -1) = 0, 解: 由于函数f(x, y) = 2x2 – ax + xy2 + 2y 在整个xoy平面上可微, 且在点(1, –1)处取得极值, 得 a = 5. 2. 函数y1=1, y2=x, y3=x2是微分方程 y?+p(x)y?+q(x)y=f(x) (其中f(x)?0, p(x), q(x)是连续函数)的三个特解, 则方程的通解是( ). 解: 由于y2–y1=x–1, y3–y1=x2–1是线性齐次微分方程 y?+p(x)y?+q(x)y=0 的两个线性无关的解, 故由条件知, 则原线性非齐次微分方程的通解是: y=c1(x–1)+c2(x2–1)+1. y=c1(x–1)+c2(x2–1)+1 3. 交换二次积分的次序 ( ). 解: 积分区域为0?y?1, y?x?1 如图. 故 2 4. 幂级数 的收敛半径R=( ). 解: 由于 故该幂级数的收敛半径R=2. 当x24时, 即当| x |2时, 幂级数收敛, 当| x |2时, 幂级数发散, 三、求解下列各题 1. 设z=f(x+y, y2), 其中f(u, v)具有二阶连续偏导数, 解: 求 2. 设方程组 求 解:方程组两边对x求导, 得 (2)式–xy(1)式, 得 即 (2)式–xz(1)式, 得 即 四、计算下列各题 1. 计算 其中D为 x2+y2? a2 (a0). 解: 用极坐标计算, 2. (A班做) 其中?为由z2=x2+y2及z=1所围成的闭区域. 解: 用柱坐标, 则?为: 0?? ?2?, 0?r?1, r?z?1. 所以 2. (B班做)求由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积. 解: 由二重积分的几何意义知, 所求立体体积为: 其中区域D: 0?x?1, 0?y?1. 3. 计算曲线积分 其中L是从点O(0, 0)沿上半圆周 到点 A(2, 0)的曲线段. A(2, 0) O -L 解: 由于P=x–3y+4, Q=3y+x–5, 则 =1–(–3)=4 (常数). 补曲线L0: y=0, 从点O(0, 0)到A(2, 0)一段, 与曲线–L一起构成封闭曲线–L+L0, 所围成区域D为半径为1的半圆, 其面积 由格林公式得: 为?/2. 而 所以