在数轴上表示一一次不等式组的解集.pptVIP

* 在数轴上表示一元一次不等式组 的解集： x+3 ＞ 0 x-4 ＜ 0 那么在直角坐标系内，二元一次不等式(组)的解 集表示什么呢？ 含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等 式叫做二元一次不等式． 使不等式成立的未知数的值叫做它的解． 我们研究不等式 y＞2x＋1 (1) 的解，并把它在坐标平面上表示出来． 为了求(1)式的任何一个实数解，可任意选取x的一个实数 值，例如x=1，把它看作一次方程，这个方程的图形是平行于 y轴的直线，它与直线l：y=2x＋1相交于点A(1，3)． 在直线x=1上，点A上方的所有点， 如(1，4)、(1，5)、…的坐标都满足不 等式(1)，它们都是(1)式的解． 在直线x=1上，点A下方的所有点， 如 (1，2)、 (1，1)、…的坐标都不满足 不等式(1)，它们都不是(1)式的解． A 可见，以不等式(1)的解为坐标的所有 点的集合 P=｛M｜y＞2x＋1｝ 是直线l上方的半平面所有的点，也就是 图中阴影所表示的平面部分，但不包括 边界直线．这种情况，直线l在图中一 般画成虚线． 以二元一次不等式的解为坐标的所有点的集合表示一 个平面图形，我们把这个图形叫做不等式表示的区域． A 由上例知道，y＞2x＋1表示的区域是直 线l上方的半平面； 同理，容易求得y＜2x＋1表示的区域是 直线l下方的半平面；而y=2x＋1就是边 界直线l． 一般地，y=kx＋b的直线把平面分成两个半平面， y＞kx＋b表示的区域是直线上方的半平面；y＜kx＋b 表示的区域是直线下方的半平面；直线y=kx＋b是两个 半平面的边界线． 由上面的讨论容易想到，一般二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 表示的区域，一定是在直线Ax＋By＋C=0的某一侧．但要断 定究竟是在哪一侧，并不需要将不等式化为y的函数式，可以 取直线Ax＋By＋C=0一侧的一点，将它的坐标代入不等式， 如果不等式成立，那么这一侧就是不等式表示的区域；如果 不等式不成立，那么直线的另一侧是不等式表示的区域． 除选点代入不等式的方法外，也可以用y的系数判断不等 式表示的区域．如果B＞0(或B＜0)，那么不等式Ax＋By＋C ＞0所表示的区域是直线Ax＋By＋C=0的上(或下)方的半平面； 如果不等式写成Ax＋By＋C＜0的形式时，它表示的区域是直 线下(或上)方的半平面．想一想，如果B=0时，原不等式表示 什么样的区域． 【例1】画出不等式y≤－2x＋3表示的区域． 解： 不等式y≤－2x＋3的解集是 y＝－2x＋3， (1) y＜－2x＋3 (2) 的解集的并集， 所以它们表示的区域是由(1)、(2)的图形合成的． 因为(1)式的图形是直线l；(2)式的图形是直线l 下方的半 平面．所以已知不等式表示的区域是直线l和它下方的半平面， 也就是图中阴影部分并且包括直线．这种情况，直线l在图中 一般画成实线． 解： 【例2】求不等式x＋2y－10＜0表示的区域，并画出图形． 先画出直线l：x＋2y－10=0． 用选点代入不等式的方法，例如将原点(0，0)的坐标 代入不等式，得－10＜0，不等式式成立． 所以坐标原点所在的半平面是不等式表示的区域，即 直线l下方的半平面，如图的阴影部分，但不包括直线l． 【例3】某工厂有一批长为2.5米的条形钢材，要截成60厘米和42厘米两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案并计算材料的利用率． 设每根钢材可截成60厘米长的毛坯x根和42厘米长的毛 坯y根．按题意得不等式 解： 0.6x＋0.42y≤2.5． (1) 在坐标纸上画出 　　 0.6x＋0.42y=2.5 (2) 的直线．如图． 因为要截得的两种毛坯数的和必须是正整数，所以以 (1)的解为坐标的点一定是第一象限内的网格的交点． 如果直线(2)上有网格的交点，那么按直线上网格交点 的坐标(x，y)的值作为下料方案，这时材料全被利用，因此 这个方案就是最佳方案．但从图4中可以看出，直线(2)不通 过网格交点，在这种情况下，为了制订最佳下料方案，应该 找靠近直线(2)的网格交点． 当然不能在直线(2)的上方半平面内找网格交点．因为 B=0.42＞0，上方半平面内任何网格交点的坐标都使0.6x＋ 0.42y＞2.5，这时两种零件毛坯长度的和超过了原钢材长， 这是不合理的．