三角函数最值问题教师版.docVIP

三角函数的最值问题一、知识要点求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理.基本类型（1）（或）型，利用（或），即可求解，此时必须注意字母的符号对最值的影响.（2）型，引入辅助角，化为，利用函数即可求解.（3）（或）型，可令（或），，化归为闭区间上二次函数的最值问题.（4）（或）型，解出（或）利用（或）去解；或用分离常数的方法去解决.（5）（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当时，还可以利用数形结合的方法去处理.（6）对于含有的函数的最值问题，常用的方法是令将转化为的关系式，从而化归为二次函数的最值问题.（7）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论.二、例题精析例1、已知，若且，求的取值范围.例1、解：因为，所以所以又因为，所以于是 解得练习1、函数有最大值2，最小值-1，则实数= ，= .练习1、解：（其中）当时，有，即，当时，有，即，解得。练习2、已知函数.（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域.练习2、解：（1）， . （2）， ， 函数的值域为.例2、求函数的最大值.例2、解法一：将原函数变形得得（其中由决定），，应用，解得。又，则，故欲求函数的最大值为。 解法二：设则原函数变成，得 利用判别式即又 解得，故的最大值为。此时，即 解法三：由解法二，设则即 易知函数在区间为减函数，在上为增函数，故的最小值为。 的最大值为，此时，即。 解法四：的值可看作是过点和两点的直线的斜率，点A在半圆上运动，作图可知的范围是所以的最大值为。练习3、求函数的值域. 练习3、解答：例3求函数（为常数）最大值；并求时最小值.例3、解：，故当最小时，最大。（1）若，则当时，最小，所以；（2）若，则当时，最小，此时；（3）若，则当时，最小，此时。练习4、求函数的最大值与最小值.练习4、解： 当，即时，，当，即时，。例4、求函数的最大值例4、解：令，则，，的最大值为练习5、函数的最大值为最小值为练习5、解：最大值为，最小值为0。例5、若，且和满足条件.①用表示；（2）求的最大值.例5、解：（1）（2）令，则，即且，解得。故的最大值是。练习6、已知是关于的方程的两个实根，求的最小值.练习6、解法一：由及可得 ① 另外，由题意还可知 解得 ②再由①可得结合②，可知，当时，有最小值例6、实数满足，设，则的值为 .例6、解：填。理由：易知设 ，代入， 得于是得，从而故。例7、设实数满足，求的最值.例7、解：设，得，即，则，于是从而（1）当时，即或，因此，当时，；当时，（2）当时，即时，，因此，当时，；当时，。综上可知，，练习7、实数满足方程，则的最大值与最小值的和等于 .练习7、解：填24。理由：题设方程配方为，于是可设，即，则，故练习8、求函数的最大、最小值.练习8、解：因，可令，则原函数式变为，其中由确定，从而例8、设 ，使不等式成立，求的取值范围.例8、解：由题意得恒成立，所以 所以的取值范围为练习9、定义在上的减函数使得对一切成立，求实数的范围.练习9、解：只要恒成立，由得，由，只要不小于的最大值0和不大于的最小值，解，得三、巩固练习：1、当时，函数的最小值为 （ ） 2、已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 ( 1 )3、设，对于函数，则 （ 有最小值而无最大值）4、已知函数,则的值域是 5、函数y=sin2+4sinx,x的值域是［］　6、设函数为常数）的最大值为1，最小值为-7，那么的最大值是 . 5 7、设实数x,y,m,n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是常数，且ab)，那么mx+ny的最大值是 . 8、已知函数，.求:( = 1 \* ROMAN I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；( = 2 \* ROMAN II) 函数的单调增区间.8、 ( = 1 \* ROMAN I) 解法一: 当,即时, 取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.解法二: 当,即时, 取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.9、求函数＝2＋的值域和最小正周期．9、解 ∴ 函数的值域是,最小正周期是；