§52常系数线性微分方程组常微分方程课件高教社王高雄教材配套.ppt

* 直接求解髙阶的方程组 应用拉普拉斯变换还可以直接求解髙阶的常系数线性微分方程组，而不必先化为一阶的常系数线性微分方程组。 例13 试求方程组 满足初值条件φ1(0)=3,φ2(0)=2的解φ1(t),φ2(t) 。 解 设x1=φ1(t),x2=φ2(t)满足方程组。 令 直接对方程组取拉普拉斯变换， 得 整理得 * (续) 例13 解上方程组有 再通过反变换得 注 并非任何函数都有拉普拉斯变换和反变换。 因此，并非任何常系数线性微分方程（组）都能应用拉普拉斯变换求解。 第五章线性方程组§5.2 * §5.2 常系数线性微分方程组 常系数线性方程组 其中A为n×n常数矩阵 * 矩阵指数 expAt n×n阶常数矩阵A的矩阵指数定义为 其中A0 = E为单位矩阵。 矩阵指数有性质： (1) 在t的任有限区间上一致收敛； 证 对一切正整数k，当|t|≤c时有 而数值级数 是收敛的，故 一致收敛。 * 矩阵指数性质(2) (2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有 exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。 由二项定理及AB=BA有 而由绝对收敛的乘法定理又有 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB * 矩阵指数性质(3)(4) (3) (expA)-1存在且(expA)-1 =exp(-A)； 证 因A与-A可交换，取B=-A，由性质(1)得 于是(expA)-1 =exp(-A) 。 (4) 如T为非奇异矩阵，即detT≠0， 则 exp(T-1AT)=T-1 (expA)T。 证 有 * 基解矩阵 定理8 矩阵 是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组), 且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。 证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且 即是方程组(33)的解矩阵。 而 得Φ(t)是基解矩阵。 由基解矩阵的性质， 知方程组(33)的任一解可表为(expAt)c * 例1 对对角矩阵(其中未写出的元均为零)试求x’=Ax的基解矩阵 解 由定义得 此即为所求的基解矩阵。 实际上，原方程组可写成 n个方程 xk’=Axk (k=1,2,…,n) 分别进行积分。 * 例2 试求 的基解矩阵 解 因 后面两个矩阵可交换，可得 因 ，最后得基解矩阵为 * 特征值和特征向量 对n×n阶(实)常数矩阵A，n次多项式 称为的特征多项式。 n次代数方程p(λ)=0 称为A的特征方程，或线性微分方程组的特征方程。 特征方程的根λ称为特征值，或特征根。 而线性代数方程组(λE-A)u=0的非零解u 称为对应特征值λ的特征向量。 n次特征方程有n个特征值（包括重数）。 如p(λ)含因子(λ- λ0)k而不含因子(λ- λ0)k+1 ， 则称特征值λ0为k重根。 k=1时称为单根。 特征值λ0可以是实的， 也可以是复的。 λ0为复数时，则其共轭复数 也是特征值。 * 例3 试求矩阵 的特征值和特征向量 解 A的特征值就是的特征方程 的根。解得λ1,2=3±5i。 对应特征值λ1=3+5i的特征向量 必须满足线性代数方程组 得解 此即为对应特征值λ1=3+5i的特征向量。 同样，对应特征值λ2=3-5i的特征向量v必须 满足线性代数方程组 解得对应特征值λ2=3-5i的特征向量 其中?, ?为任意非零常数。 * 例4 试求矩阵 的特征值和对应的特征向量 解 特征方程为 λ =3是A的二重特征值。 其对应特征值λ=3的特征向量c 应满足 解得对应特征值λ=3的特征向量