高等数学（三）第五章 线形方程组 ppt课件.ppt

　　定理1　设 T 是V 的一个线性变换，则 　　(1)T把零向量变到零向量，把 ? 的负向量变到? 的像的负向量，即 T 0=0；T(??)= ?T?. 　　(2)T保持向量的线性组合关系不变, 即 T(k1?1+k2?2+?ks?s)=k1T?1+k2T?2+?ksT?s. 　　(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组. 　　定义2　设 L(V) 是向量空间V的全体线性变换的集合,定义 L(V) 中的加法，数乘与乘法如下： 加法: (T1+T2) ? =T1?+T2?; 数乘: (kT)?=kT? 乘法: (T1T2)?=T1(T2?) 对 ??V, k?R. 　　可证；若 T1, T2 均为 V 的线性变换，则T1+T2，T1T2，均为 V 的线性变换. 二、线性变换的矩阵 T? =k1 T ?1+k2 T ?2+ … +km T ?m 　　设 V 为向量空间, dim(V)=m. 　　?1, ?2, … , ?m 为V 的一组基，T 为 V 的一个线性变换. ? =k1?1+k2?2+ … +km?m T?1 =a11?1+a21?2+ … +am1?m T?2 =a12?1+a22?2+ … +am2?m T?m =a1m?1+a2m?2+ … +amm?m … … … … … 即 (T?1,T?2,…,T?m)=(?1,?2,…,?m)A 其中 简记为(?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m)A 设 （1） （2） 称矩阵A为线性 变换T在基?1, ?2, … , ?m下的矩阵. 给定V的基?1,?2,…,?m,线性变换T?　?矩阵A 定理3　设 V 的线性变换 T有 (T?1,T?2,…,T?m)=(?1,?2,…,?m)A 　　向量?在基?1, ?2, … , ?m下的坐标为(x1, x2, … , xm)，T?在此基下的坐标为(y1, y2, … , ym), 则 = (?1, ?2, … , ?m ) A ? =x1?1+x2?2+ … +xm?m T? =x1 T ?1+x2 T ?2+ … +xm T ?m = (?1, ?2, … , ?m ) 证明： 所以 例3： 设 R3 的线性变换T T(x1, x2, x3)=(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) 求 T 在标准基?1, ?2, ?3下的矩阵. 解：T?1=T(1, 0, 0)=(a11, a21, a31)= a11?1+a21 ?2+ a31 ?3 T?2=T(0, 1, 0)=(a12, a22, a32)= a12?1+a22 ?2+ a32 ?3 T?3=T(0, 0, 1)=(a13, a23, a33)= a13?1+a23 ?2+ a33 ?3 故 T 在标准基 ?1, ?2, ?3 下的矩阵为 特例： 线性变换 T?=k? ? 数量矩阵kE 恒等变换 T?=? ? 单位矩阵E 零变换 T?=0 ? 零矩阵O 三、线性变换在新基下的矩阵 ?1,?2,…,?m；?1,?2,…,?m 定理4 设向量空间V有两组基，分别为 则B=C?1AC 证明： (?1,?2,…,?m)B=T(?1,?2,…,?m) (?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m)C 且 T(?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m)A T(?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m ) T=(?1,?2,…,?m)C=(?1,?2,…,?m)AC =(?1,?2,…,?m)C?1AC　故　B=C?1AC 定义5 设 A, B 为两 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 C，使 B=C?1AC , 则称方阵 A 与 B 相似，记为A~B. (1) A~A (反身性) (2) A~B? B~A (对称性) (3) A~B, B~C ? A~C (传递性) A C?1 B C = B =(FD)-1 C (FD) A =D-1 D CF ) =D-1 D (F-1 性质： 解：从e1, e2, e3 到?1, ?2, ?3的过渡矩阵 例5　线性变换T在R3中基e1,e2,e3下的矩阵为 求T在基?1=2e1+3e2+e3 , ?2=3e1+4e2+e3 , ?3=e1+2e2+2e3 下的矩阵. 故线性变换 T 在 ?1, ?2, ?3 下的矩阵 B=C?1AC 三、线性变换的特征值与特征向量 　　问题: 线性变换在何种基下对应对角矩阵? 　　定义6　设 T 是向量空间 V 的一个线性变换,如果存在数 ? 及 n 维非零向量 ? ，使得 　　　　　　　　T ? = ? ? 　　成立，则称 ? 为T的一个特征值，而 ? 称为 T 对应于特征值 ? 的一