[第6讲.创新大题高分攻略.教师版]-尖子班.doc

考点1：数列新性质 （2012年东城一模理） 若对于正整数，表示的最大奇数因数，例如，．设． ⑴ 求，的值； ⑵ 求，，的值； ⑶ 求数列的通项公式． ⑴ ，． ⑵ ； ； ． ⑶ 考虑，，． 一方面，对于，，由于，，而必然是奇数，因此当时，不同的的值至多有个． 另一方面，由于对中的任何一个奇数，都存在，使得． ∴因此当时，不同的的值至少有个． 综上，时，的取值集合为，且每个取值恰好取一次． 因此 而，∴，． （2011年海淀一模） 已知每项均是正整数的数列：，其中等于的项有个， 设 ， ． ⑴ 设数列，求； ⑵ 若数列满足，求函数的最小值． ⑴ 1 2 2 2 2 1 3 5 3 0 3 8 4 1 4 12 5 0 4 16 6 0 4 20 … … … … … ⑵ 记，则 根据数列的定义，记则 当时，；当时，． 于是当时，；当时，． 这就意味着从第项起是常数列，且该常数就是数列的最小值． （两种不同的求和方式） （2010年海淀高三期末） 给定项数为（，）的数列，其中（）． 若存在一个正整数（），若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”， 例如数列：． 因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”． ⑴ 分别判断下列数列 ① ： ②： 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； ⑵ 若项数为的数列一定是 “3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由； ⑶ 假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值． ⑴ ①；②不是“5阶可重复数列”； ⑵ 1°先构造一个尽可能长的非“3阶可重复数列”，如．该数列中组合~均已出现． 2°若，则此时，，…，共组连续项中必然会出现相同的组． 综合1°2°，的最小值为． ⑶ 数列为，其中． 根据题意存在，使得 且． 于是，，∴，不妨设． 此时． 若，则，，中必然会出现两个相同的连续5项，矛盾． ∴，即 ∴． （2012年西城高三期末） 已知数列：．如果数列：满足，，其中，则称为的“衍生数列”． ⑴ 若数列：的“衍生数列”是：，求； ⑵ 若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是； ⑶ 若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…．依次将数列的第（）项取出，构成数列：．证明：是等差数列． ⑴ ：． ⑵ 法1： 由已知，，．因此，猜想． ① 当时，，猜想成立； ② 假设，时，． 当时， 故当时猜想也成立． 由①、②可知，对于任意正整数，有． 设数列的“衍生数列”为，则 由以上结论可知，其中． 由于为偶数，所以， 所以，其中． 因此，数列即是数列． 法2： ， ， ， …… ， 因此，即． 由于，（）， 根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”． ⑶ 法1： 设数列，，中后者是前者的“衍生数列”．欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明（）即可． 由⑵中结论可知 ， ， 所以，，即成等差数列，所以是等差数列． 法2： 因为（）， 所以，（）． 所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可． 对于数列及其“衍生数列”， ， ， ， …… ， 因此 即． 设数列的“衍生数列”为， 因为，， 所以，即成等差数列． 依次类推，所以成等差数列． 考点2：特征量 【教师备案】例3及其备选题中奇偶变化为特征量，例4中需要我们自行挖掘特征量． （2012年朝阳二模） 已知数列满足，且当时，，令． ⑴ 写出的所有可能的值； ⑵ 求的最大值； ⑶ 是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由． ⑴ ，∴，． 满足条件的数列的所有可能情况有： ①，此时；②，此时； ③，此时；④，此时； ⑤，此时；⑥，此时； 所以，的所有可能的值为：． ⑵ 由， 可设，则或（，）， 因为，所以 ． 因为，所以，且为奇数，是由个和个构成的数列． 所以 ． 则当的前项取，后项取时最大， 此时． 证明如下： 假设的前项中恰有项取，则 的后项中恰有项取，其中， ，，． 所以 ． 所以的最大值为． ⑶ 由⑵可知，如果的前项中恰有项取，的 后项中恰有项取，则， 若，则，因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，因此不存在数列，使得． （2011年北京） 若数列（）满足（），则称为数列．记． ⑴ 写出一个满足，且的数列； ⑵ 若，，证明：数列是递增数列的充要条件是； ⑶ 对任意给定的整数（），是否存在首项为的数列，