数值分析第3章--数值积分与数值微分教案设计.ppt

第3章 数值积分与数值微分 §1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式 §2 复合求积公式 §3 龙贝格(Romberg)积分方法 §4 数值微分 1.1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式  在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)在区间［a, b］ 上连续且其原函数为F(x) ,则可用牛顿―莱布尼兹公式 来求定积分。公式(3―1)虽然在理论上或在解决实际问题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情况: (1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简单的函数,例如 等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。 (2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。 (3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。例如定积分 的被积函数 的原函数就比较复杂,从数值计算角度来看,计算量太大。 如图5.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左矩形公式 ? 如图5.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面积,则得到计算定积分的梯形公式 1.1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式 建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有 现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有 利用拉格朗日插值多项式 这里yi=f(xi),对式(3―6)两边积分得 为牛顿 ― 柯特斯求积公式,Rn(f)为牛顿 ― 柯特斯求积公式的余项。 令 x=x0+sh , 0≤s≤n 称C(n)i为柯特斯求积系数。 很显然,当n=1时,可算得 这是梯形公式。 当n=2时,可得 这是抛物线公式。 当n=3时, 代入(3―10)式得到求积公式 柯特斯系数C(n)i仅与n和i有关,与被积函数f(x)无关,且满足 例1 试分别用梯形公式和抛物线公式计算积分 解 利用梯形公式 原积分的准确值 1.2 误差估计 现对牛顿 ― 柯特斯求积公式所产生的误差作一个分析。由式(3―9),牛顿 ― 柯特斯求积公式的余项为 易知,牛顿 ― 柯特斯求积公式(3―10)对任何不高于n次的多项式是准确成立的。这是因为 f(n+1)(ξ)≡0 故 Rn(f)≡0 一般说来,若某个求积公式对于次数不高于m的多项式都准确成立(即Rn(f)≡0),而对于某一次数为m+1的多项式并不准确成立(即Rn(f)0),则称这一求积公式的代数精确度为m。 ? 牛顿 ― 柯特斯求积公式的代数精确度至少为n。通常在基点个数相等的情况下,代数精确度愈高,求积公式就愈精确。 定理1 (梯形公式的误差)设f(x)在区间［a, b］上具有连续的二阶导数,则梯形求积公式的误差为 由于 ω1(x)=(x-a)(x-b) 在区间(a, b)内不变号,f″(ξ)是x的函数且在［a,b］上连续,故根据积分第二中值定理参见有关《数学分析》教材中“一元函数积分学第二中值定理”。 知,存在某一η∈(a, b)使 定理2 (抛物线公式的误差)设f(x)在［a, b］上有连续的四阶导数,则抛物线公式的误差为 §2 复合求积公式 2.1 复合梯形公式 对于定积分(3―1),将积分区间［a, b］分成n个相等的子