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* * * * * §2.4 微分 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算 四、微分的应用 五、二阶微分 1、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 一、 微分的概念 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 一、 微分的概念 * 2. 微分的概念 设y =f (x)在N(x0)有定义, 给x0以增量?x, x0+?x ? N(x0).如果函数相应的增量可表示为 ?y =A?x + o(?x) 则称?y的线性主部为f (x)在点x0处的微分, 记为dy =A?x, 其中, A叫微分系数. 此时, 称f (x)在点x0处可微. 一、 微分的概念 （1）区别: 一、 微分的概念 3. 可微与可导的关系 * 若y = f (x)在点x0处有(有限)导数，则 ?y ? f ?(x0) ?x （2）联系 一、 微分的概念 * ?y =A?x +o(?x) 那么, 我们自然要问A = ? ?x?0 反之, 若在 x0 点处y =f (x)的增量?y可以表示为 一个线性函数与一个高级无穷小量之和的形式 一、 微分的概念 * 就是说, 在点x0处用关于自变量的增量?x的线性函数代替函数的增量?y时, 其关系式一定是?y = f ?(x0)?x +o(?x), 我们称f ?(x0)?x (或 A?x)为函数在点x0处增量的线性主部, 通常将它记为dy = f ?(x0)?x (dy =A?x). 一、 微分的概念 * 定理: f (x)在点x0可微? f (x)在x0可导, 且 A=f ?(x0). dy = f ?(x0)?x 也就是说, f (x)在点x0处可微性与可导性是等价的, 且 f (x)可微, 则 一、 微分的概念 * 例1. y=x, 求dy. 解: 由于 y=x, 所以 dy = dx = ?x 该例说明: 自变量的增量就是自变量的微分. 函数的微分可以写成: dy = f ?(x)dx 或 d f (x) = f ?(x)dx 一、 微分的概念 * 当 dy = f ?(x)dx, 有 , 即函数 f (x)在点x处的导数等于函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 的商, 故导数也可称为微商. 一、 微分的概念 微分三角形 近似公式 函数y = f (x)在点 x 处的微分在几何上表示为: 相应于自变量 x 的改变量 ?x, 曲线 y = f (x)在点P(x, y)的切线上纵坐标的改变量. 二、 微分的几何意义 * 三、微分的运算 1. 微分的基本公式 可微性??可导性, 故微分的基本公式与导数的基本公式相似. 基本初等函数的微分公式 三、微分的运算 2. 一阶微分形式不变性 (复合函数微分法则) 设 y =f (u), u=? (x)可构成复合函数y =f (? (x)). 若u=? (x)在点 x0处可微, 而y =f (u)在相应点u0=? (x0)处可微, 在f (? (x))在U(x0)有定义, 则y =f (? (x))在点 x0 处可微. 三、微分的运算 * 按微分的定义 但 du = ? ?(x)dx, 故 dy =f ?(u)? ?(x)dx = f ?(u)du (u为中间变量) 我们发现y =f (u), 当u为中间变量时的微分形式与u为自变量时的微分的形式相同, 均为 dy =f ?(u)du, 这种性质称为函数的一阶微分形式 不变性. 三、微分的运算 * 例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当?x=0.1时在x=2处的微分. 解: 故 三、微分的运算 * 例3. 已知y =f (x)的反函数是x = ? (y), f (x)在 I内单调, 可导, 且f? (x) ?0, 则 存在, 由微分的概念和性质: (作为商来看) 例4. 解: 三、微分的运算 * 四、微分的应用 * 五、二阶微分 类似于二阶导数的做法可以定义函数的二阶微分. 1. 设函数y =f (x)二阶可导, 当x为自变量时, 其二阶微分为 由此看出, 当x为自变量时, 类似可定义n阶微分: * 2. 设函数y =f (x), x =? (t)都具有相应的可微性, 且可构成复合函数 y =f (? (t)), 则 五、二阶微分 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *