分形理论发历史及其应用.doc

一、分形理论1.1、引言欧氏几何、 三角学、 微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。比如, 零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空等, 它们所描述的几何对象是规则和光滑的。而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等。面对这些事物和现象, 传统科学显得束手无策。因为目前还没有哪一种几何学能更好地描述自然形态, 象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。近30年来, 科学家们朦胧地“感觉”到了另一个几何世界, 即关于自然形态的几何学, 或者说分形几何学。这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构, 并且在不同尺度之下保持某种相似的属性, 例如, 一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极, 不断分割下去, 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构, 适当的放大或缩小几何尺寸, 整个结构不变。于是在变换与迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中 L系统和 IFS方法便是典型的代表)。分形理论是非线性科学的一个重要分支, 主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。1.2、分形理论的起源与发展1967年美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线其特征是极不规则、极不光滑的呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同这种几乎同样程度的不规则性和复杂性说明海岸线在形貌上是自相似的也就是局部形态和整体态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片看上去会十分相似。事实上具有自相似性的形态广泛存在于自然界中如连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年, 他创立了分形几何学(fractal geometry)。在此基础上形成了研究分形性质及其应用的科学称为分形理论(fractal theory)。第一阶段为1875 年至1925年, 在此阶段人们已认识到几类典型的分形集, 并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、 分类和刻画。1872 年, 维尔斯特拉斯(Weieratrass)证明了一种连续函数—维尔斯特拉斯函数(图 2.1)在任意一点均不具有有限或无限导数。同年, 康托尔(Cantor)引入了一类全不连通的紧集, 被称为康托尔三分集。1890年皮亚诺(Peano)构造出填充平面的曲线(图2.3)。 皮亚诺曲线以及其它的例子导致了后来拓扑维数的引入。1904 年科切(Koch) 通过初等方法构造了处处不可微的连续曲线—— 科切曲线(图 2.4), 并且讨论了该曲线的性质。波瑞（Perrin）在 1913 年对布朗运动的轨迹图进行了深入的研究, 明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在 1920 年促使维纳(Wiener)建立了很多布朗运动的概率模型。为了表明自然混乱的极端形式, 维纳采用了“混沌”一词。 由于非常“复杂” 的几何的引入, 长度、 面积等概念必须重新认识。为了测量这些集合, 闵可夫斯基(Minkowski) 于 1901 年引入了闵可夫斯基容度。豪斯道夫(Hausdorff)于 1919年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数。这些实际上指出了为了测量一个几何对象, 必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度。总之, 在分形理论发展的第一阶段, 人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题并为讨论这些问题做了最基本的工作。第二阶段大致为 1926年到 1975年, 人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得了丰富的成果。贝希柯维奇(Besicovitch)及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质、 以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。布利干(Bouligand)于 1928年引入了布利干维数, 庞德泽金(Pontrjagin)与史尼雷尔曼（Schnirelman）于 1932 年引入了覆盖维数, 柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov ） 与季霍米洛夫(V.Tikhomirov)于 1959 年引入体维数。由于维数可以从不同角度来刻画集合的复杂性, 从而起了重要作用。以塞勒姆(Salem)与柯汉(Kahane)为代表的法国学派从稀薄集的研究出发,