初中数学实问题与二次函数-详解与练习含答案.doc

初中数学专项训练：实际问题与二次函数 一、利用函数求图形面积的最值问题 围成图形面积的最值 只围二边的矩形的面积最值问题 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式； 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米）， 根据题意，得：； 又∵ （2）∵中，a= -1＜0，∴y有最大值， 即当时， 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 只围三边的矩形的面积最值 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式 解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米）， 根据题意，得：； 又∵ ∵中，a=＜0，∴y有最大值， 即当时， 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。 点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 解得： 当时，20-x=4；当时，20-x=16 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是cm，围成两个正方形的面积为ycm2， 根据题意，得：， ∵中，a= 2＞0，∴y有最小值， 即当时，=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm2. 练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y. (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由. 二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题 例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 . . 【解析】 试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解 试题解析：设此函数解析式为：，； 那么（2，-2）应在此函数解析式上． 则 即得， 那么． 练习1 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是.请回答下列问题： (1)柱子OA的高度是多少米？ (2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？ 2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米. （1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系 ①求抛物线的解析式； ②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分 ①求圆的半径； ②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500. （1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分） （2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分） （3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分） （1）35；（2）30或40；（3）3600. 【解析】 试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可． 试题解析：（1）由题意得出： ， ， 当销售单价定为35元时，每月可