数学建模例（上）.ppt

* 经济数学 　　某饮料生产企业现在需要设计一批容积为V的圆 柱形饮料包装盒，问应怎样设计才能使所用材料最省？ 7．1 数学建模概述 引例（一）： 第7章 数学建模案例 ７．１ 讨论： １．什么是最优设计 ２．易拉罐的形状如何 ３．材料跟易拉罐的什么有关 　　　　　　　 ? 经济数学 　　在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。请问，你能否根据自己的观察来研究易拉罐的形状和尺寸对其进行最优设计？ 7．1 数学建模概述 引例（二）： 第7章 数学建模案例 ７．１ 经济数学 7．1．1 数学建模简介 数学的语言（图、表、式等等）、方法解决实际问题的全过程就是数学建模。 7.1.1 经济数学 １． 数学模型 7．1．2 数学模型与数学模型的分类 7.1.2 　　由数字、字母或其它数学符号组成，描述实际对象数量规律的数学公式、图象或算法（或：实际问题的数学描述）称为数学模型。 例如（１）： 　　甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米， 　　乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米。求全程长多少 　　千米？ 小学生的方法：　　　　　　　　　　　（千米） 中学生的方法：设：相遇时甲行驶了　千米，乙行驶了　千 　　米， 　　　　甲乙相距a千米，则 经济数学 １． 数学模型 7．1．2 数学模型与数学模型的分类 7.1.2 　　 （2）导数是曲线的切线斜率、直线运动瞬时速度的数学模型 经济数学 2. 数学模型分类 7．1．2 数学模型与数学模型的分类 7.1.2 按变量的特性分有： 连续型模型和离散型模型；确定性模型和随机性模型;静态模型和 动态模型等等。 例如： 温度与时间的关系曲线就是一种连续模型；商场销售量与时间的 关系就是一种离散模型。 按数学方法分有： 初等模型，微分方程模型，运筹模型，线性模型，非线性模型、网 络模型，随机模型等等。 经济数学 2. 数学模型分类 7．1．2 数学模型与数学模型的分类 7.1.2 按应用领域分有： 人口模型，生态模型，交通模型，环境模型，经济模型等等。 按对模型结构了解程度分有： 白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及问题的机理 相当清楚；黑箱模型是指对机理很不清楚；而灰箱模型则有别于白、黑 箱之间。 经济数学 7．2．1 椅子问题模型 7．2数学模型案例 7.2 　 在日常生活里，将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，其中三条腿常同时着地（不在同一条直线上的三点确定一平面），如果第四条腿不着地，椅子未放稳，问能否稍作挪动，就可以使四条腿同时着地（即椅子放稳）？ 1.提出问题 经济数学 7．2．1 椅子问题模型 7．2数学模型案例 7.2 1．椅子：假设椅子的四条腿一样长，椅子腿与地面接触处视为一点，四条腿的 连线呈正方形． 2．地面：地面高度是连续变化的，地面无断裂，呈连续曲面． 3．椅子与地面相对关系：对椅子腿的间距和椅子腿的高度而言，地面是相对平 坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三条腿同时着地． 2.模型假设 经济数学 7．2．1 椅子问题模型 7．2数学模型案例 7.2.1 3.建立模型 （一）建立模型的分析 1．稍作挪动-如图7-1 2．椅子脚着地－即椅子脚与地面距离为零 3．椅子放稳－结合１，２给出数学模型 设 , 为非负连续函数，如果 ＝０且 , 那么必存在 ，使 A B C D O A1 B1 C1 D1 A 图7-1 经济数学 7．2．1 椅子问题模型 7．2数学模型案例 3.建立模型 7.2.1 显然 ， ，由假设（2）知 ， 为的连续函数；由假设（3）知，由于三点着地，故对任意位置 ， 和