多小波变换中一种新预滤波方法-西北大学学报.DOC

多小波变换中一种新预滤波方法 康 静 （西北大学 数学系，陕西 西安 710069） 摘 要：由已有的GHM多小波预滤波方法提出了一种新的预滤波方法，实验证明使用新的预滤波方法进行多小波变换后有较高的低通能量百分比，并且在图像压缩中使用新的预滤波方法会有更好的效果。 文章编号：1000-274X(2003)006-06 多小波已成为小波理论研究的热点之一，它是用多个小波函数和多个尺度函数来表示信号的。文献[1]用分形内插函数构造了第一个多小波，称为GHM多小波。多小波的重要性在于它可同时满足紧支撑性、、由个尺度函数的平移生成。向量=满足矩阵的两尺度方程：=，系数是矩阵。与这些尺度函数相应的是个小波函数满足：=，同样是矩阵。同时我们称=, =分别为低通，高通滤波器。 GHM多小波是二重多小波，两个尺度函数是对称的，支撑区间分别为，整个多小波系统是正交的且具有二阶逼近阶。它的低通、 不失一般性，以下我们只讨论二重多小波情况。二重多滤波器是两通道的矩阵滤波器，它作用在二输入的数据流上，生成四输出的数据流，然后向下采二。因为多滤波器系数是矩阵，输入必须以向量形式，这样就产生了不同于单小波的新问题，为了开始离散多小波变换，必须先对原标量数据流进行预处理，以得到向量输入流；在逆离散多小波变换后，相应地要有一个后处理，将向量输出数据流还原成标量数据流。预滤波可用一个预滤波器实现，后滤波可用一个后滤波器实现。显然，预滤波、、、分裂成的向量序列，然后再进行预滤波，生成向量信号=，对于GHM多小波来说满足 (1) (2) 就相当于向量序列通过预滤波器，其中，。相应地经过逆离散多小波变换后，要通过后滤波重构原始信号，即 (3) (4) 就相当于向量信号=通过后置滤波器，其中 ，。 2.2 二维信号预滤波 基于一维信号预滤波，我们可以推出二维信号预滤波，即首先对信号按行进行预滤波，再对处理后的数据按列进行预滤波。若按行、的二维信号的每一行进行预滤波 (5) (6) 经过行处理后矩阵为　 然后对矩阵的每一列进行预滤波 (7) (8) 经过列处理后矩阵为 即是预滤波后的最后结果。同样，预滤波后的二维信号经过离散多小波变换和逆变换后必须经过后置滤波才能够重构原始信号。后置滤波时先对逆变换后的信号按列进行后置滤波，再对处理后信号按行进行后置滤波，这样在不考虑误差的情况下，后置滤波后的信号与原始信号相同。 2.3 改进的预滤波方法 本文对以上预滤波方法进行了改进，在按行进行预滤波时，把原始信号的相邻两行看成是某一连续信号的采样，其中第一行看成是信号在整数点上的采样，第二行看成是信号在半整数点上的采样，在按列预滤波时同理。整个预滤波过程分为以下几步： 首先，对原始二维信号的每相邻两行进行预滤波 (9) (10) 经过行处理后矩阵为 然后对矩阵的每相邻两列进行预滤波 (11) (12) 经过列处理后矩阵为 即是预滤波后的最后结果。同样，预滤波后的二维信号经过离散多小波变换和逆变换后，必须进行后置滤波才能重构原始信号。 设逆变换后的信号矩阵为，后滤波过程是先对相邻两列后置滤波 (13) (14) 然后对的每相邻两行进行后置滤波 (15) (16) 最后得到重构的二维信号，当然在不考虑误差的情况下，。 3 数值实验 以下我们用本文给出的预滤波方法(GHMn)和文献[