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因式分解的应用走向（初三） 作者：湖南省隆回县第一中学 邹启文 邮编：422200 电话：0739-6933738 E—mail:zouqiwen@163.com 笔者从2004年全国各省市45分中考试卷和近年来全国各类数学竞赛试题中是发现、绝大部分省市把因式分解作为一种运算技巧或解题方法融合在试题中。他们要求学生能够运用因式分解知识解决实际问题。因此，学生掌握应用方向与解法技巧是学习因式分解的关键。常见的应用有很多，如因式分解应用在计算中、应在解解方程或方程组中、应用在解不等式中，由于这些内容已在各类教材和辅导资料都有讨论，在这里不再赘述。本文就近年来中考与竞赛中关于因式分解的应用走向谈谈自己的看法，供同学们参考。 一、在求值问题中应用 例：（2004年河南省中考试题）已知a=+20 b=+19 c=+21 那么代数式的值是（ ） A，4 B，3 C，2 D，1 分析：因本题所求代数式中含有a、 b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简。 解：原式= = 当：a=+20 b=+19 c=+21 有：a－b=1 b－c= －2 a－c=－1 ∴原式=故应选B。 二、化简过程中应的用 例：（2004年哈尔滨市中考题）先化简 再求值，其中x=tan45°－con30° 分析：题中是一个可用十字相乘法分解因式的多项式，而且括号内的整式与分式通分后也可分解因式。所以因式分解后可通过约分化简。 解：原式=== ∵x=tan45°－con30°=1- ∴原式= 三、在此较大小时的应用。 例：（2005年希望杯一试）如果a＜b＜c＜o时，的大小关系是（ ） A，＜＜ B， ＜＜ C， ＜＜ D，＜+ 分析；本题要判断三个分式大小，一般方法是依次取两个求差通分后，进行因式分解把分子分母化为积的形式，然后考察每个因式的符号和它们的积的符号进而得到整个分式的符号。是这类问题的常用方法。 解：∵ ∴a＜b＜c＜o ∴a+b+c＜o a－b＜o ∴（a+b+c）（a-b）＞o （a+c ）（b+c）＞o ∴＞o 即＞o 故得 ＞ 同理，有＞ ， 于是＜＜，所以＜+正确，故选D 四、在求取值范围中的应用。 例：设x、y、z均为不超过1的实数，若， 求的求值范围。 分析：本题稍有难度，但我们发现右边的多项式里有两项含有1-x的特点，所以我们应设法造型（1-x）这个公因式，并把其得取出来，进行因式分解，再根据已知条件来判断积的符号范围。 解：由题设知1- = = ∵0≤≤1 0≤≤1 0≤≤1 ， 由 0≤≤1得 -1≤≤0 故有 0≤≤1 同理0≤≤1 和 0≤≤1 ∴0≤≤1， 故K的得值范围是0≤≤1 五、在求最值中的应用。 例：（2004年全国“truly信利杯”数学竞赛题）实数x、y、z 满足 x+y+z=5 xy+yz+zx=3 则z的最大值是_________，最小值是_________。 分析：因为从xy+yz+zx=3这个等式可以发现本问题的最高次数为2次，因此我们可以把它转化为一元二次方程，运用一元二次方程的判别式性质确定z的最大值或最小值。 解:∵x =5-y-z 把x =5-y-z代入xy+yz+zx=3 得 ∴ 可化简为 其中有： ∵x、y、z为实数∴△≥0∴≥0 或由得 但无解舍去 所以z的最大值是，最小值是。 六、在证明恒等式的应用。 例：若mn为整数，求证： 分析：本题的证明是要把左边的代数式转化为右边的完全平方式显然要找到左边式子中符合完全平方展开试的结构式进行公式法因式分解。 证明：左边 七、在证明不等式题中的应用。 例：（2004年邵阳市中考题）已知均为负实数，且方程有不相等的实数根。 求证：＜ 分析：本题由方程有不相等的实数根，自然可想到一元二次方程判别式必大于0，从而通过因式分解即可证得结论。 证明：由变形为：， ∵方程有两不相等的实数根，∴△=＞0 ∵均为负实数，∴则＜0 ∴＜0 ∴＜ 八、在判断几何形状中的应用。 例：（2005年数学竞赛自编培训题）已知正实数分别为△ABC的三边之长， 且满足，试判断△ABC的形状。 分析；从本题中条件等式的结构看，我们发现的最低次幂为2，所以应想到本题是否与三角形勾股定理有联系，经仔细分析通过补项可把等式左边的多项式分解为两个符合与勾股定理有