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二次函数中考复习资料
二次函数
1.定义:一般地,如果,那么
2.二次函数(配方得:的形式,其中
3.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向:1)当时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,当 ,y值最小,最小值为
2)当时,开口向下;顶点是抛物线的最高点,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,当 ,y值最大,最大值为
3)相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作.特别地,y轴记作直线.
4.顶点决定抛物线的位置:几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:,
∴顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为,对称轴是直线.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
6.抛物线
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置:由于抛物线的对称轴是直线,故:
①时,对称轴为轴 ②0(即、同号)时,对称轴在轴左侧
③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.
7.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:.已知图像上三点或三对的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标,通常选用交点式:.
8.直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为.
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标,是对应二
元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的
判别式判定:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点:
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组
的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点; ③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为,由于是方程的两个根,故
?
9.抛物线的平移与对称变换:
(1)平移变换:
①上下平移:首先要化为顶点式,不改变的值,不改变h的值,然后向上为“+”,向下为“—”。
②左右平移:首先要化为顶点式,不改变的值,不改变k的值,在括号内进行加减,向左为“+”,向右为“—”。
(2)对称变换:
①一般形式关于y轴对称时,对称点的纵坐标不变,横坐标互为相反数,故解析式为
②一般形式关于x轴对称时,对称点的横坐标不变,纵坐标互为相反数,故解析式为-,即所有系数均变为相反数
③一般形式关于原点轴对称时,对称点的横纵坐标均变为相反数,故解析式为,一次项系数不变,二次项和常数项均变为相反数
经典例题:
1、已知:抛物线y=ax2+6ax+c与x轴的一个交点为A(-2,0)
①求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标。
②点C是抛物线与y轴的交点,D是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为32,求此抛物线的解析式。
E是第二象限内到x轴、y轴距离之比为3:1的点。若E在②中的抛物线上,且a>0,
E和A在对称轴同侧。问在抛物线的对称轴上是否存在P点,使△APE周长最小。若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由。
2、二次函数y=x2-2(m-1)x-1-m的图像与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),
x1<0<x2,与y轴交于点C,且满足
①求这个二次函数的解析式
②是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q,使y轴平分△CPQ的面积。若存在,求出k、b应满足的条件,若不存在,请说明理由。
3、如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C点。△ABC为直角三角形。
①求代数式ac的值
②如果AO:BO=1:3,且2AO·CO=,求此二次函数的解析式。
4、,0)为圆心,以2为半径的圆与X
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