1.3概率的性质.ppt

1 §1.1 随机事件及其运算 第一章 随机事件与概率 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性 2 性质1: P ()=0. 注意: 逆不一定成立.即并不只有不能事件的概率为0 §1.3 概率的性质 1.3.1 概率的可加性 证明: 注意到不可能事件与任何事件是互不相容的 3 证明: 令 An+1 = An+2 = … =, 则由可列可加性及P()=0得 性质2: 若有限个事件A1,A2,…,An是两两互不相容的事 件,则有 P(A1∪A2∪…∪An ) = P(A1)+P(A2)+…+P( An ) 上式称为概率的有限可加性. 性质3: 对于任一事件A,有: 例2：抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。 例1：将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？ 4 性质4: 设A,B是两个事件,若B  A,则有 P(A-B)=P(A)-P(B) 推论：若B  A，则P(A)≥P(B) 1.3.2 概率的单调性 性质6: 对于任意两事件A,B，有P(A-B)=P(A)-P(AB) 性质5 : 对于任一事件A,有 P(A)≤1 性质7:对任意两事件A,B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 上式称为概率的加法公式. 推广：设A,B,C是任意三个事件，则有 P(A∪B∪C)= =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) 5 推论: 对于任意两事件A,B，有P(A∪B)≦P(A)+P(B) 一般，对于任意n个事件A1,A2,…,An,有 一般,对于任意n个事件A1, A2, …, An , 有 上式称为概率的半可加性. 6 × √ 解: 设Ak=“取出的m个球的最大号码为k” Bk=“取出的m个球的最大号码小于或等于k” (k=1,2,…,n) 练习：P28 12 例3: 口袋中有编号为1, 2 , … , n 的n个球，从中有放回地任 取m次，求取出的m个球的最大号码为k的概率。 （法一） 设A=“取出的m个球的最大号码为k”，则： （法二） 7 = P(A)-[ P(A)+P(B)P(AB) ] 例4： P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB). 法一： P(AB) = P(A)P(AB) 法二： P(AB) = P(AB）P(B) = 0.3 例5： P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16, 求 A、B、C 都不出现的概率. = 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC) 利用对立事件解题 例6: (P37 , 9) 口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中 8 解：记 A 为“第k 次取到黑球” ， 则 A 的对立事件为 “第k 次取到白球” . 而“第k 次取到白球” 意味着： “第1次……第k1次取到黑 球，而第k 次取到白球”， 随机地摸出一球，并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率. 从而： 练习：设元件盒中装有50个电阻，20个电感，30个电容，从 盒中任取30个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有 一个电感的概率. 常见模型(4) —— 配对模型 9 例7：(配对问题)在一个有n个人参加的晚会上,每个人带 解：设Ai =“第i 个人抽到自己的礼物” i =1 , 2 , ... , n 则所求概率为P ( A1  A2  ……  An ) 一个礼物,且假定各人带的礼物都不相同,晚会期间各人从放 在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 问至少有一个人抽到自 己的礼物的概率是多少？ 10 利用对立事件和加法公式 例8( P37 , 8 ) : 从 1, 2, ……, 9中有返回取n次，求取出的n 11 解：因为 “乘积能被10整除” 意味着： “取到5”(记为A) 且 “取到偶数” (记为B)。 因此所求概率为 P(AB). 个数的乘积能被10整除的概率. 利用对称性 例9(P37，10): 甲掷硬币n+1次，乙掷n次.求甲掷出的正面 12 解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数. 因为 P(甲正乙正)= P(n+1-甲反 n-乙反) = P(甲反-1乙反) = P(甲反乙反) 所以 2P(甲反≤乙反)=1, 由此得 P(甲正乙正)=1/2 (对称性) 又 P(甲正乙正) = P(甲反乙反)