非线性系统1-3节.ppt

第三章 非线性系统的优化 第一节 问题与模型 第二节 预备知识 第三节 凸函数 第一节 问题与模型 在前面的学习中我们学习了线性规划问题是在线性约束条件下求目标函数的最大(或最小)值及其最优解,在生产实践中有些现象必须用非线性函数来描述,如在约束条件或目标函数中出现非线性函数时,就称之为非线性规划问题,举几个例子来说明: 1.变压器设计问题 变压器的电压容量,电流容量,热损耗等情况与变压器的芯硅钢片尺寸有关,如何确定芯硅钢片的尺寸,在满足容量,散热等规格要求 (约束条件)下,使得变压器所用的芯硅钢片最轻或材料费用最少(目标函数值最小).问题的变量是芯硅钢片的边长,电流密度和磁通密度,容量和散热等约束条件以及目标函数都可以都可以变成这些变量的非线性函数.这就成了非线性规划问题. 2.动力系统运行最佳问题 在一个动力系统中,如何在给定的方式下,合理的分配各电站的负荷,使得系统达到最大的经济性,是系统运行调度中的任务.具体地,在保证整个系统经济上合理的可靠水平和电能质量前提下,使在电能的产生和分配上所需的直接燃料消耗为最小,这个问题可归结为非线性问题,如当多个机组分布在相距不远的几个电站里,而电站与负荷间相距也不远.此时系统网络损耗可忽略不计,问题变量是: 电站i的燃料输入　　　为　　　　　的函数；总燃料消耗Ｆ＝　　　为　　　　　的线性或非线性函数（目标函数），问题是在系统平衡　　　　　　　　　以及用户对电能质量要求等的约束条件下，求最优方案（最优解） 　　　　　使得总燃料消耗（目标函数）Ｆ达到最小值． 由于非线性规划的目标函数及约束条件的复杂性，现在还没有一种算法能保证找到任何一个非线性规划的全局最优解，而往往只能找到某个局部最优解，因此，我们需要对全局最优解及局部最优解分别给出定义． 定义３.１　（局部最优解） 设Ｄ是问题（３－１）～（３－３）的可行区域， 　　∈Ｄ，若存在　　的一个邻域Ｎ（　，δ）， 当Ｘ∈ Ｄ∩Ｎ（　，δ）时，就有 　　　　 (3-4) 则称　 是非线性规划（３－１）～（３－３）的一个 最优（极小）解． 特别，若在（３－４）中严格不等号“＜”成立，则称　　　　　　　　　　　　　　　是一个严格的局部最优（极小）解． 定义３.２　（全局最优解） 设　 ∈Ｄ，若对Ｄ中任一点Ｘ，都有 　　　　　　　 则称　 是非线性规划的一个全局最优解.可行域及最优点与 线性规划有较大区别，这点可以通过图解法清楚看出． 第二节　预备知识 一．梯度 定义３.３　设n元函数　　 在点　　 可微，则称向量 　　　　　　　 为函数　　 在点　　 处的梯度． 图３－６指出了梯度的几何意义：如果函数　　 在点　　 的梯度 是非零向量，那么　　 就是　　 的等值面在　　 处的法向量，垂直于 等值面在　　 点的切平面，且指向　　 的函数值增大的方向． 定义３.４　（方向导数） 设　　 在点　　 可微，Ｐ是给定的非零向量，如果极限 　　　　　　　　　　　 存在，则称此极限为函数　　 在　　 的沿方向Ｐ的方向导数，并记为　　　 ． 定义３.５　（下降方向） 设Ｐ为非零向量，若存在正数　＞０，当　∈（０，　）时，必 有　　 则称方向Ｐ是函数　　 在点　　 处的一个下降方向 定义３.１　如果函数　　 在点　　 沿方向Ｐ的方向导数满足条 件　　　　　　　　　　那么方向Ｐ是函数　　 在点　　处的 一个下降方向． 二．Ｈesse　矩阵 定义３.６　（Ｈesse矩阵）　设n元函数　　 在　　点二次可 微，将　　 在　　点的二阶偏导数按下述（３－７）式的形式组 成矩阵　　　 ，则称　　　 是函数　　 在　　 点的 Ｈesse矩阵 在不引起误解的时候，也常常将　　　 记为　　　 ． 显然，当　　 二阶连续可微时，其Ｈesse 矩阵　　　 是对称矩阵． 三 多元函数的Taylor展式 若 在 二阶可微，则可得 在点 的二阶Taylor展式为： 等价为： 其中： 由此，推出如下的关于下降方向的充分条件。 定理3.2 设向量 ，函数 在点 的梯度 存在。若 ，则P是