计算固体力学讲义(第一部分).doc

原名《变分及有限元素法原理》教案 现在用名《计算固体力学》讲义 参考书 1．诸德超. 升阶谱有限元素法.国防工业出版社； 2．胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用.科学出版社，1981。 3．冯 康. 弹性结构的数学理论.科学出版社，1987。 4．胡海昌. 变分法； 教授本课程的基本思想：回答如下问题 “计算”主要体现在有限元离散数值方法上。为了讲清楚和帮助学生理解如何才能高精度、高效和可靠地得到所需要的数值结果，需要如下知识： 有限元方法的理论基础是什么？ 如何进行有限元离散？（精度和效率） 如何构造的单元以及单元的性能（收敛性）是什么？（精度和效率） 有限元的计算结果与精确解和试验结果的关系是什么？（精度） 有限元静动力平衡方程是如何求解的（差分及各种各样的求解方法）？（精度和效率） 如何保证有限元结果向正确解收敛？（精度和效率） 为何有限元得到如此普遍的应用？（商用软件的开发和能够求解问题的广泛性） 有限元适合求解什么样的问题？（适用性和可靠性） 总的思路： 基本原理（变分原理和各种工程理论）――单元及性能（低阶、高阶及非协调）――离散平衡方程的求解――结果的特征分析 变分原理包括：最小势能原理，Rayleigh商和Hamilton变分原理； 工程理论：杆、梁（Euler和Timoshenko）、板（Kirchhof和Midlin）理论和平面理论。 单元的阶次：基本单元，高阶单元，升阶谱单元 单元的协调性：杆、梁和平面单元是协调的，但板单元基本是不协调的。 离散平衡方程的求解：各种差分方法和算法（保结构和不保结构，人工阻尼现象） 结果的特性：协调单元的结果，非协调单元的结果 第1讲 强调变分原理的数学和物理含义； 强调变分原理的运算法则； 强调变分原理与弹性力学的等价性。 要求同学熟练掌握最小势能原理、Hamilton变分原理与Rayleigh商。 一、引言 1．解决实际问题的基本步骤 本课重点 图1.1 实际问题的分析步骤 2．力学体系 为了建立力学模型，首先应该知道基本的力学体系。 （1）牛顿矢量力学体系：取微元，根据受力分析得到平衡方程； （2）拉格朗日分析力学体系：利用广义坐标表示能量，然后根据与能量有关的力学定律如Lagrange方程得到数学模型或平衡方程。 二 有限元方法的理论基础 （1）变分原理 变分原理：求泛函驻立值的数学方法。因为泛函不一定存在极值，所以这里用驻立值。 最小势能原理：求势能泛函极小值的数学方法。结构的真实位移函数使该结构的势能泛函取极小值。 Hamilton变分原理 Rayleigh商 （2）离散数学是有限元素法收敛性证明的数学工具 下面首先讲述的就是理论基础。 三 变分原理 考虑图所示杆件结构。 图 杆结构系统 系统的势能泛函为 变分原理要求寻找一个位移函数使上述泛函获得驻立值。由于一个稳定的结构的势能泛函有唯一的极小值，此时泛函驻立值问题也就是泛函极值问题。 为了能够更加清楚地了解变分原理，现在对其发展过程做一简单概括： 1 发展的两个阶段 1）早期工作：把泛函驻立值问题转化为微分方程问题（问题1） 微分方程发展在先，变分原理发展在后。因此在早期，一旦把泛函驻立值问题转化为微分方程问题，便认为问题已经解决，至少基本解决。 自从里兹提出直接求解泛函驻立值或极值的近似方法（即著名的Ritz法）后，人们发现如果为了求近似解，从泛函的驻立值或极值出发，通常比从微分方程出发更方便。从电子计算机广泛使用后，这种观点越来越得到赞同。于是人们的研究目标从原来把泛函驻立值或极值问题转化为微分方程问题，逐步转变到把微分方程问题转变到泛函驻立值或极值问题上。 2）后期工作：把微分方程问题转变到泛函驻立值或极值问题（问题2） 对问题1，经过欧拉、拉格朗日以及其他数学工作者的努力，已经建立了比较成熟、系统的方法。 对问题2，尚存在可能性问题。目前用得多的主要还是根据微分方程的物理和工程背景，采用尝试和核对的方法。即先猜想一个泛函的驻立值或极值问题，然后核对其是否与原来的微分方程等价。 2．变分与微分 参见图。 y,Y Y(x) δy dy y(x)