创新设计2013-2014高中数学湘教版选修2-2配套课件：4.4 《生活中的优化问题举例 》.ppt

纠错心得　在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误．解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建立数学模型，在实际问题中的定义域范围内找出问题的最优解. 课前探究学习 课堂讲练互动 4．4　生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等问题，这些问题通常称为 ．通过前面的学习，我们知道 是求函数最大(小)值的有力工具，运用 ，可以解决一些生活中的 ． 解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，函数在开区间上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 自学导引 1． 2． 优化问题 导数 导数 优化问题 数学建模 利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意什么？ 提示　(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值． (3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间． 自主探究 有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形 场地的最大面积为 (　　)． A．32 m2 B．18 m2 C．16 m2 D．14 m2 解析　设矩形长为x m，则宽为(8－x)m，矩形面积S＝x(8－x)(0x8)． 令S′＝8－2x＝0，得x＝4 m，此时Smax＝42＝16(m2)． (当然也可用配方法或基本不等式法求最值)． 答案　C 预习测评 1． 以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为 (　　) A．10 B．15 C．25 D．50 解析　法一：如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积为S＝5sin θ·2·5cos θ＝25sin 2θ，故Smax＝25. 2． 答案　C 如右图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________． 3． 答案　32米，16米 用总长为6 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3∶4，那么容器容积最大时，高为______m. 4． 答案　0.5 利用导数解决实际问题的一般方法 (1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最值的变量y与自变量x，找出变量y与x的关系，即列出函数关系y＝f(x)，再根据实际问题确定函数y＝f(x)的定义域，这样就把实际问题转化成了数学问题． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出定义域内所有的实数根． (3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值． 要点阐释 注意：①求实际问题的最值时，一定要考虑问题的实际意义，不符合实际意义的理论值要舍去． ②在实际问题中，若在函数的定义域内，使f′(x)＝0成立的值只有一个，且函数在这一点处取得极大(小)值，则不与端点值比较，也可以知道这就是最大(或小)值． 在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 典例剖析 题型一　容积(或面积)最大问题 【例1】 答：当箱底边长为40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3. 点评　在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0.如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值． 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料 最省，则圆柱的底面半径为________． 1． 答案　3 题型二　时间、费用最省问题 点评　利用导数的方法解决实际问题，要注意构造函数，但与解决一般的函数问题有区别，即注意利用导数所求出的函数最值点是否符合现实问题的要求． 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以________ km/h的速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小． 2． 答案　20 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价