2011年高考数学专题的讲义数列综合.docVIP

第八讲 数列综合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.（宁夏）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　B　） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ． 2.(江西)已知等差数列的前项和为，若，则 ．7 3.（辽宁卷） 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于 A． B. C. D. 【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列， 则 即，所以，故选择答案C。 4.（湖南）设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（　B　） A．10 B．11 C．12 D．13 5.(陕西卷) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an . 解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－10 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)． 当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n 6.（广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为. ( = 1 \* ROMAN I)求数列的首项和公比； ( = 2 \* ROMAN II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和； 解: (Ⅰ)依题意可知, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差, ,即数列的前10项之和为155. ★★★高考要考什么 本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则． 高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查 间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论． 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型： （1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力． （2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力． （3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列． ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知数列，满足，，且（） （I）令，求数列的通项公式； （II）求数列的通项公式及前项和公式． 解：（Ｉ）由题设得，即（） 易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为． （II）解：由题设得，令，则． 易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为． 由解得 ， 求和得． 【变式】（文）在等差数列中，，前项和满足条件， （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，求数列的前项和。 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。 （Ⅱ）由，得。所以， 当时，； 当时， ， 即。 （理）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 （Ⅰ）、求数列的通项公式； （Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m； 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 【范例2】已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……） （1）求的值； （2）证明：对任意的正整数n，都有a；