2011年高考数学专题的讲义导数及其应用.docVIP

第四讲 导数及其应用（文） ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（ B ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A A． B． C． D． 4．函数，已知在时取得极值，则=（B） A.2 B.3 C.4 D. 5．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．32 6．已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．3 7．设a为实数,函数 (Ⅰ)求f(x)的极值. (Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y= f(x)轴仅有一个交点. 解：(I)=3－2－1 若=0，则==－，=1 当变化时，，变化情况如下表： (－∞，－) － (－，1) 1 (1，+∞) + 0 － 0 + 极大值 极小值 ∴f(x)的极大值是，极小值是 (II)函数 由此可知，取足够大的正数时，有f(x)0，取足够小的负数时有f(x)0，所以曲线y= f(x)与轴至少有一个交点 结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线= f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。 当f(x)的极小值－10即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y= f(x)与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。 ∴当∪(1，+∞)时，曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点 ★★★高考要考什么 导数的几何意义： 函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率； （2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度； 2．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′0(y′0),解出相应的x的范围。当y′0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′0时，f(x)在相应区间上是减函数 3．求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。 4．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 5．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。 ★★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值； （2）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程. （1）解：，依题意，，即 解得. ∴. 令，得. 若，则，故 f(x)在上是增函数， f(x)在上是增函数. 若，则，故f(x)在上是减函数. 所以，是极大值；是极小值. （2）解：曲线方程为，点不在曲线上. 设切点为，则点M的坐标满足. 因，故切线的方程为 注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得. 所以，切点为，切线方程为. 【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键. 【范例2】(安徽文)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t). (Ⅰ)求g(t)的表达式； (Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值. 解：（ = 1 \* ROMAN I）我们有 ． 由于，，故当时，达到其最小值，即 ． （ = 2 \* ROMAN II）我们有． 列表如下： 极大值 极小值 由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为． 【点晴】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力． 【范例2】（湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式． 解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根， 设两实根为（），则，且．于是 ，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16． （II）解法一：由知在点处的切线的方程是 ，即， 因为切线在点处空过的图象， 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点