工程力学达朗伯原理.ppt

第七章 达朗伯原理 达朗伯原理 刚体惯性力系的简化 达朗伯原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单, 也容易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。 引言 设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有 将上式改写成 令 7.1 质点的达朗伯原理 Q具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘积, 方向与质点加速度的方向相反。 Q m F FN a 即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。 则有 　　应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗伯原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。 7.1 质点的达朗伯原理 例1 球磨机的滚筒以匀角速度w 绕水平轴O转动, 内装钢球和需要粉碎的物料, 钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁, 然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料, 如图。设滚筒内壁半径为r， 试求钢球的脱离角a。 解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力如图。钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 其加速度为 惯性力Q的大小为 假想地加上惯性力, 由达朗伯原理 O M r w a q F FN mg Q 这就是钢球在任一位置q 时所受的法向反力, 显然当钢球脱离筒壁时, FN＝0 , 由此可求出其脱离角a为 设质点系由 n 个质点组成, 其中任一质点i的质量为mi, 其加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点上假想地加上它的惯性力Qi＝miai , 方向与ai的方向相反，则由质点的达朗伯原理, 有 7.2 质点系的达朗伯贝尔原理 即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。 ? O R 例 2 已知：m ，R， ?。求：轮缘横截面的张力。 解： 取上半部分轮缘为研究对象 O x y Qi ? d? FT FT 7.3 刚体惯性力系的简化 　　由静力学中任意力系简化理论知，主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。下面就刚体平移、定轴转动两种情况讨论惯性力系的简化结果。 刚体平移时，刚体内任一质点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，有ai ＝ aC 1. 刚体作平移 a1 1 QI1 ai i QIi C aC 平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力， 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。 RQ 2. 刚体绕定轴转动 如图所示, 具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。惯性力系向O点简化的主矢为： 方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为 7.3 刚体惯性力系的简化 QIin QIiτ i O ri w ? 其上任一点的惯性力的分量的大小为 由于QIin通过O点, 则有 ΣMO( QIin )= 0, 所以 即 7.3 刚体惯性力系的简化 综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系, 可以简化为通过转轴O的一个惯性力RQ和一个惯性力偶MQO。力RQ的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积, 方向与质心加速度的方向相反，作用线通过转轴；力偶MQO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积, 转向与角加速度的转向相反。 QIin QIiτ i O ri w ? MQO RQ 现在讨论以下三种特殊情况： 2. 当刚体作匀速转动时, ?＝0, 若转轴不过质心, 惯性力系简化为一惯性力RQ, 且RQ ＝－maC, 同时力的作用线通过转轴O。 1. 当转轴通过质心C时, aC＝0, RQ＝0, MQO＝－IC?。此时惯性力系简化为一惯性力偶。 3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时, RQ ＝0, MQO ＝0, 惯性力系自成平衡力系。 7.3 刚体惯性力系的简化 QIin QIiτ i O ri w ? MQO RQ 例3 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并以匀角速度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角q 的关系。 解：以杆AB为研究对象, 受力如图。 杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dx 的加速度的大小为