大学物理课谐振子的阻尼振动.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 目 录 §2 谐振子的阻尼振动 ? 无阻尼的自由振动 ? 谐振子的阻尼振动 §3 谐振子的受迫振动 共振 ? 谐振子的受迫振动 ? 共振 作业：6-7, 6-8,6-9（旧版） 6-13，6-14，6-15（新版） * §2 谐振子的阻尼振动 2-2 谐振子的阻尼振动 2-1 无阻尼的自由振动 振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比， 与其方向相反。 弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程： * 称 为振动系统的固有角频率,称 为阻尼系数 令： （1）阻尼较小时， 此方程的解： 这种情况称为欠阻尼 阻力使周期增大 * 由初始条件决定A和初相位 ,设 即有： 欠阻尼 * （2）阻尼较大时， 方程的解： 其中 是积分 常数，由初始条件 来决定，这种情况 称为过阻尼。 过阻尼 无振动发生。 * 临界阻尼 称之为临界阻尼情况。它是振动系统 刚刚不能作准周期振动，而很快回到 平衡位置的情况，应用在天平调衡中。 是由初始条件 决定的积分常数。 （3）如果 方程的解： 是从有周期性因子 到无周期性的临界点。 * 3-1 谐振子的受迫振动 §3 谐振子的受迫振动 共振 设强迫力 阻尼力： 是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。 由微分方程理论： 非齐次微分方程的通解= 齐次微分方程的解+非齐次的一个特解 * 其解为： 经过足够长的时间，称为定态解： 该等幅振动的角频率就是强迫力的频率； 稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为： * 求振幅对频率的极值，得出 共振时强迫力的角频率 共振的振幅 振幅有极大值 3-2 共振 代入 与强迫力的相位差 * §4 简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成 本讲提纲 作业：6-10， 6-11 , 6-12（旧版） 6-16，6-17，6-18（新版） 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 * ?? 代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位 §4 简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 结论： 仍然是同频率 的简谐振动。 合振幅 * X Y ?? 几何方法 * 讨论一： 合振幅最大。 当 称为干涉相长。 * 讨论二： 当 时， 称为干涉相消。 讨论三： 一般情况： * 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 利用三角函数关系式： 为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频 率振动的合成。其振动表达式分别为： * 合成振动表达式： 当 都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分， 合成振动是以 为角频率的谐振动。 其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种 合振动忽强忽弱的现象称为拍。 * 单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频 显然，拍频是振动 的频率的两倍。 即拍频为： * 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即 * 上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。 质点的运动方向与 有关。当 时， 质点沿顺时针方向运动；当 时， 质点沿逆时针方向运动。 当 时，正椭圆退化为圆。 * 讨论1 所以是在 直线上的运动。 * 讨论2 所以是在 直线上的振动。 讨论3 所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。 * 质点的轨道是圆。 X和Y方向的相位差决定旋转方向。 讨论5 讨论4 所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。 * 讨论6 则为任一椭圆方程。 综上所述：两个频率相同的互相 垂直的简谐振动合成后，合振动 在一直线上或者在椭圆上进行 (直线是退化了的椭圆)当两个 分振动的振幅相等时，椭圆轨 道就成为