第二章 2.3 函数的奇偶性和周期性.pptx

第二章　函数概念与基本初等函数 I §2.3　函数的奇偶性与周期性 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识　　　　　自主学习 1.函数的奇偶性 y轴 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)是偶函数 关于____对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)是奇函数 关于____对称 原点 知识梳理 1 答案 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. f(x＋T)＝f(x) 存在一个最小 答案 1.如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 3.对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝ ，则T＝2a. 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(　　) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.(　　) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数.(　　) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称.(　　) (5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数.(　　) (6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　) × √ √ √ √ √ 答案 解析　对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)， 故y＝ex－e－x为奇函数. y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数.故选D. D 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. A 解析答案 1 2 3 4 5 3.(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a 解析　由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0， 所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数， log0.53＝－log23，所以log25＞|－log23|＞0， 所以b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B. B 解析答案 1 2 3 4 5 －5 解析答案 1 2 3 4 5 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x0时，f(x)＝________. 解析　当x0时，则－x0， ∴f(－x)＝(－x)(1－x). 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x). x(1－x) 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类　深度剖析 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－x； 解　定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x) ＝－f(x)， ∴函数为奇函数. 题型一　判断函数的奇偶性 解析答案 ∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数. 解析答案 解　当x0时，－x0，f(x)＝－x2＋x， ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)； 当x0时，－x0，f(x)＝x2＋x， ∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x ＝－(x