华东师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学试数学分析.doc

华东师范大学 2008年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目代码及名称：数学分析 招生专业： 考生注意： 无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号） 判别题（6*6=30分）（正确的说明理由，错误的举出反例） 1．数列收敛的充要条件是对任意，存在正整数使得当时，恒有。 2．若在处可微，则在的某个邻域内存在。 3．设在上连续且，则在上有零点。 4．设级数收敛，则收敛。 5．设在的某个邻域内有定义且 ， 则在处连续。 6. 对任意给定的，任意给定的严格增加正整数列，存在定义在上的函数使得，（表示在点处的阶导数）。 二、计算题 （10*3=30分）（计算应包括必要的计算步骤） 1．求 2．设 为由方程组所确定的隐函数。求 3．计算 其中 ， ，，积分沿曲面的外侧。 三、证明题（14*6=84分） 1．设级数收敛于（有限数）。证明： 2．设在上的不连续点都是第一类间断点。证明：在上有界。 求证：存在使得在上有 3．已知在上，函数列一致收敛于，函数列一致收敛于。证明：函数列一致收敛于。 4．设数列为中互不相同的点列，为函数在上的唯一间断点。设在上一致有界，即存在正数使得对所有的与所有均成立。证明：函数在内的间断点集为。 5．设，证明： （1） 在上连续； （2）在上存在且连续； （3）。 6．（1）设在上可导。若存在使 ，证明存在使得。 （2）设，在上可导，设存在，使 . 设，证明：存在使。