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同角三角函数的基本关系 在教材 “做一做”中，需要完成第（3）题，其结果如下： 三角函数 角 sin cos tan 300 450 1 600 从表中不难得出： ， ， ， 那么，对于任意锐角A，是否存在，呢？ 事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系： 如图，在，所对的边依次为a，b，c 则 ① （平方关系） ②， （商的关系） ③ （倒数关系） 证明：① 即 ② 即 ， ③ 即 通过以上证明，可以得出以下结论： ①对于任意锐角A，的正弦与余弦的平方和等于1，即． ②对于任意锐角A，的正弦与余弦的商等于的正切，即． ③对于任意锐角A，的余弦与正弦的商等于的余切，即． ④对于任意锐角A，的正切和余切互为倒数，． 运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程． 例1已知为锐角，求．解：为锐角 又 此题还可以利用定义求解，方法不唯一． 例2计算 解：原式= =1-1 =0 本题也可直接把特殊角的三角函数值代入计算，但过程较为复杂，同学们了解了同角三角函数之间的基本关系，不仿试解下面的题目． 1化简： 2为锐角，化简 答案： 1（提示：1=） 21 （提示： ）例1　如图1，某船以海里/时的速度向正东航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行半小时后到点，测得该岛在北偏东方向上， 已知该岛周围海里内有暗礁． （1）试说明点是否在暗礁区域外； （2）若船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． 解：（1）因为，所以． 又因为，所以，因此点在暗礁区域外； （2）过点作，垂足为． 在中，，令，则． 因为在中，，所以，所以． 解得． 因为，所以船继续向东航行有触礁的危险． 学生甲：“解决这类问题的关键是灵活运用方向角的有关知识建立数学模型，若把船改成台风，就可以变式为考虑岛C是否会受到影响的问题了．” 学生乙：“你说的很对，不过，你听说台风向正东刮吗？要说台风，还是看看下面的这个题吧．” 例2　据气象台预报，一强台风的中心位于宁波（指城区，下同）东南方向）千米的海面上，目前台风中心正以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米的圆形区域均会受到强袭击．已知宁海位于宁波正南方向千米处，象山位于宁海北偏东方向千米处．请问：宁波、宁海、象山是否会受这次台风的强袭击？如果会，请求出受强台风袭击的时间；如果不会，请说明理由．（为解决问题，须画示意图，现已画其中一部分，请根据需要，把图形画完整） 解：如图4，过点作东西方向（水平）直线与（南北）延长线交于点，延长台风中心移动射线与交于点． 因为， 所以，． 因为，所以，所以与重合，因此台风中心必经过宁海，经过宁海的时间为（小时）； 如图4，为象山，由题意得，到的距离，所以象山会受到此次台风强袭击． 假设台风到达点时开始受到影响，到达点时影响结束，则有海里，由勾股定理求得，所以，因此象山受到台风袭击的时间为（小时）． 如图4，到的距离，所以宁波不会遭受此次台风的袭击． 综上所述，宁波不会受到台风的强袭击，宁海受台风袭击的时间为小时，象山受台风袭击的时间为小时． 学生丙：“这个问题的背景可真够丰富的，原来，预报天气也要用到解直角三角形的知识啊！” 老师：“解直角三角形的知识在航海、航空、测量、修路筑坝、机械加工等领域运用非常广泛，只要我们掌握将实际问题抽象建模的方法，就可以做到以不变应万变，……” 巧用直角三角形解决问题 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于本章的太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．下面介绍几例使同学们增加对直角三角形应用的认识． 例1 甘肃如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为300时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到.1 m，≈1.41，≈ 1.73) 分析：太阳光可看成平行投影，本题关键是构造可解的直角三角形． 解：设甲楼影子在乙楼上最高点为E，作EF⊥AB于F，则在Rt△BFE中，BF=EF·tan300=AC·tan300=8≈13.8(m)， CE=AB-BF=16.2(m) 答：甲楼在乙楼上的影子有16.2 m高． 例2 有一辆客车在平坦的大路上行驶，前方有两幢高楼，且A、B两处的高度分别为72 m和36