中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数综合能力题30讲第21讲 抽象函数型综合问题.doc

数学高考综合能力题选讲21 抽象函数型综合问题 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势． 范例选讲 例1．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，． （1）试求的值； （2）判断的单调性并证明你的结论； （3）设，若，试确定的取值范围． （4）试举出一个满足条件的函数． 讲解：（1）在中，令．得： ． 因为，所以，． （2）要判断的单调性，可任取，且设． 在已知条件中，若取，则已知条件可化为：． 由于，所以． 为比较的大小，只需考虑的正负即可． 在中，令，，则得． ∵ 时，， ∴ 当时，． 又，所以，综上，可知，对于任意，均有． ∴ ． ∴ 函数在R上单调递减． （3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子． ， ，即． 由，所以，直线与圆面无公共点．所以， ． 解得：． （4）如． 点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决． 例2．已知定义在R上的函数满足： （1）值域为，且当时，； （2）对于定义域内任意的实数，均满足： 试回答下列问题： （Ⅰ）试求的值； （Ⅱ）判断并证明函数的单调性； （Ⅲ）若函数存在反函数，求证：． 讲解：（Ⅰ）在中，令，则有．即：． 也即：． 由于函数的值域为，所以，，所以． （Ⅱ）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有 ？（＊） 这个问题实际上是：是否成立？ 为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系．由于，所以，在中，令，得． 所以，函数为奇函数．故（＊）式成立． 所以，． 任取，且，则，故且．所以， 所以，函数在R上单调递减． （Ⅲ）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，． 为了证明本题，需要考虑的关系式． 在（＊）式的两端，同时用作用，得：， 令，则，则上式可改写为： ． 不难验证：对于任意的，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端． 事实上，由于 ， 所以，． 所以， 点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值． 高考真题 1．（2001年全国高考题）设是定义在R上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意都有，且． （Ⅰ）求及； （Ⅱ）证明：是周期函数； （Ⅲ）记，求． 2．（2002北京高考题）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足： （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判断的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅲ）若，求数列的前项的和． [答案与提示：1．（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）． 2．（Ⅰ）；（Ⅱ）奇函数；（Ⅲ）．]