中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题3讲第01讲 集合与简易逻辑.doc

数学高考综合能力题选讲1 集合与简易逻辑 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 《考试说明》中，对于集合、充要条件已做出明确的要求. 高考中，对于这一部分的考查，主要集中在：（1）集合本身的性质和运算；（2）集合语言和集合思想的运用；（3）充分条件和必要条件的判定. 范例选讲 命题甲：或；命题乙：，则（ ） A.甲是乙的充分非必要条件； B.甲是乙的必要非充分条件； C. 甲是乙的充要条件； D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件. 讲解 为了进行判断，首先需要构造两个命题：甲=乙；乙=甲. 但是，这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难. 考虑到原命题与逆否命题的等价性，可以转化为判断其逆否命题是否正确. “甲=乙”，即 “或” =“”， 其逆否命题为：“” =“且” 显然不正确. 同理，可判断命题“乙=甲”为真命题. 故选择B. 点评 本题虽然看上去是一个基本的不等量关系，但实质逻辑性很强，容易选错，解本题的关键：一是从反面入手，利用原命题与逆否命题的等价性，二是要对逻辑联结词“或”“且”深刻理解与领悟. 已知集合，集合，其中均为实数. （1）求； （2）设为实数，，求. 讲解 （1）集合A实际上是：使得恒成立的所有实数的集合. 故令，解得：. 集合B实际上是：使得方程有解的所有实数的集合. 故令，解得：或 所以，，，. （2）设，则问题（2）可转化为：已知函数的值域（），求其定义域. 令，可解得：. 所以，=. 点评 学习数学，需要全面的理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用. 而集合作为近、现代数学的重要基础，集合语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面. 集合和简易逻辑，是学习、掌握和使用数学语言的基础. 本题以集合和逻辑为背景，主要考查对数学符号语言的阅读、理解以及迁移转化的能力. 高考真题 （1985年全国高考）设a,b是两个实数，A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数}，B={(x,y)│x=,m,y=3m2+15,m是整数}，C={(x,y)│x2+y2≤144}是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得 （1）（表示空集）；（2）(a,b)∈C同时成立. （2001年上海高考）对任意一个非零复数，定义集合 （1）设是方程的一个根，用列举法表示集合. 若在中任取两个数，求其和为零的概率. （2）设复数，求证： （1993年全国高考）已知关于x的实系数二次方程x 2 + ax +b =0有两个实数根??????证明? ??| 2, | ??| 2, 那么2| a | 4 + b且 | b | 4 ; (II) 如果2| a | 4 + b 且 | b | 4 , 那么| ??| 2 , | ??| 2 . [答案与提示：1.不存在. 2.，在其中任取两数，其和为零的概率为；证明略. 3.略. ]