中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力30讲第15讲 立体几何中的有关证明.doc

数学高考综合能力题选讲15 立体几何中的有关证明 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。 范例选讲 例1． 已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°α90°），B’在底面上的射影D落在BC上。 （1）求证：AC⊥面BB’C’C。 （2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。 讲解：（1）∵ B’D⊥面ABC，AC面ABC， ∴ B’D⊥AC， 又AC⊥BC，BC∩B’D=D， ∴ AC⊥面BB’C’C。 （2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。 因为B’D⊥面ABC，所以，就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。 由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。 即当α=时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。 例2． 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。 （1）求证：平面EDB⊥平面PBC； （2）求二面角的平面角的正切值。 讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。 首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。 ∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC， ∴ DE在平面ABCD内的射影就是DC。 在正方形ABCD中，DC⊥CB， ∴ DE⊥CB。 又，， ∴ DE⊥。 又面EDB， ∴ 平面EDB⊥平面PBC。 （2）由（1）的证明可知：DE⊥。所以，就是二面角的平面角。 ∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC， 又平面ABCD内的直线CB⊥ DC。 ∴ CB⊥面PDC。 又面PDC， ∴ CB⊥PC。 在Rt中，。 点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。 例3．如图：在四棱锥中，⊥平面，∠，，，为的中点。 （1）求证：平面； （2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？ 讲解：题目中涉及到平面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明CE平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。 （1）延长BC、AD交于点F。 在中，∠，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，所以，∽。又，，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。 又因为为的中点，所以，EC为的中位线，所以，EC//SF。 又，，所以，平面。 （2）因为：⊥平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，，所以，AB面。 过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面角。 在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。 此时，在SAF中，，所以，。 在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则 h= 因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即。 点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。 高考真题 1．（2002年北京高考）如图：在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上下底面矩形的长、宽分别为与，且，两底面间的距离为。 （1）求侧面与底面所成二面角的大小； （2）证明： （3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算。已知它的体积公式是。 试判断与的大小关系，并加以证明。 （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面） 2.(1997年全国高考)如图,在正方体中,E,F分别是的中点. Ⅰ.证明AD⊥; Ⅱ.求AE与所成的角; Ⅲ.证明面AED⊥面; Ⅳ.设＝2,的体积 [答案与提示：1. （1）；（3）。 2. （2）90o； （4）=1。]