中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考学综合能力题30讲第09讲 数列综合问题.doc

数学高考综合能力题选讲9 数列综合问题 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 在知识网络的交汇点处设计试题是近年来高考命题的特点．数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式、函数、解析几何等知识综合在一起，成为高考命题的热点． 范例选讲 例1 已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为． （Ⅰ）求证：点的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和； （Ⅲ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题．对于（Ⅰ），直接验证即可；对于（Ⅱ），观察的构成： ， 可知（Ⅰ）的结论又为（Ⅱ）作了铺垫；对于（Ⅲ），则应在（Ⅱ）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决．总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（Ⅰ）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键． （Ⅰ）由题可知：，所以， 点的纵坐标是定值，问题得证． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立． 由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于： 所以， 所以， （Ⅲ）∵， ∴ ∴等价于 ① 依题意，①式应对任意恒成立． 当时，①式显然不成立，因此不合题意． 当时， ，所以，只需对任意恒成立，而当为偶数时，不成立，因此，不合题意． 当时，因为（），所以，需且只需对任意恒成立．即：对恒成立． 记（）． ∵ ， ∴ （）的最大值为， ∴ ． 点评：对于“恒成立”的问题，往往采用分离变量的方法，转化为求某一函数的最值． 例2 已知函数与函数的图像关于直线对称． （Ⅰ）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域； （Ⅱ）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式． 讲解：本题条件繁多，内容涉及解析几何、函数、数列多个方面，因此，我们首先需要仔细阅读题目，并根据题设理清思路，从繁杂的条件中选取有用的信息，把握问题的实质：实际上，本题的实质仍然是数列问题，解析几何和函数只是起到一种伪装的作用． （Ⅰ）由题可知：与函数互为反函数，所以， ， （Ⅱ）因为点在函数的图像上，所以， (*) 在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：． 所以，，(*) 式可化为： ① （Ⅲ）直线的方程为：，， 在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以， = 结合①式可得： ② 由①可知：当自然数时，，，两式作差得：． 结合②式得： ③ 在③中，令，结合，可解得：， 又因为：当时，，所以，舍去，得． 同上，在③中，依次令，可解得：，． 猜想： ．下用数学归纳法证明． （1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立． （2）假设时命题成立，即，则由③式可得： 把代入上式并解方程得： 由于，所以，，所以，不符合题意，应舍去，故只有． 所以，时命题也成立． 综上可知：数列的通项公式为 点评：演绎和归纳是解决数列问题的常用方法；解决综合题的策略往往是把综合问题分解成几部分，然后各个击破． 高考真题 （1995年全国高考）设是由正数组成的等比数列,是其前n项和, （Ⅰ）证明:()＜； （Ⅱ）是否存在常数c＞0,使得[lg(－c)＋lg(－c)]lg(－c)?并证明你的结论. （1999年全国高考）已知函数的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n＋1(n＝0,1,2,…)时,该图象是斜率为的线段(其中正常数≠1),设数列由＝(＝1,2,…)定义 （Ⅰ）求和的表达式； （Ⅱ）求的表达式,并写出其定义域； （Ⅲ）证明的图象与的图象没有横坐标大于1的交点． [答案与提示：1．不存在满足题意的常数．　2．（Ⅰ） ；（Ⅱ）当时，的定义域为，当时，的定义域为；（Ⅲ）略．]