专题12 列 极限 数学归纳法.doc

专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法 一 能力培养 1,归纳猜想证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨 问题1数列{}满足,,(). (I)求{}的通项公式; (II)求的最小值; (III)设函数是与的最大者,求的最小值. 问题2已知定义在R上的函数和数列{}满足下列条件: , (=2,3,4,),, =(=2,3,4,),其中为常数,为非零常数. (I)令(),证明数列是等比数列; (II)求数列{}的通项公式; (III)当时,求. 问题3已知两点M,N,且点P使,,成公差小 于零的等差数列. (I)点P的轨迹是什么曲线? (II)若点P坐标为,记为与的夹角,求. 三 习题探讨 选择题 1数列的通项公式,若此数列满足(),则的取值范围是 A, B, C, D, 2等差数列,的前项和分别为,,若,则= A, B, C, D, 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是 A, B, C, D, 4在等差数列中,,第10项开始比1大,记,则的取值范围是 A, B, C, D, 5设A,B,C是椭圆)上三个点,F为焦点, 若成等差数列,则有 A, B, C, D, 6在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空 7等差数列前()项和,且前6项和为36,后6项和为180,则 . 8,则 . 9在等比数列中,,则的取值范围是 . 10一个数列,当为奇数时,;当为偶数时,.则这个数列的前 项之和 . 11等差数列中,是它的前项和且,,则①此数列的公差, ②,③是各项中最大的一项,④一定是中的最大项,其中正确的是 . 解答题 12已知,且组成等差数列(为正偶数). 又,,(I)求数列的通项;(II)试比较与3的大小,并说明理由. 13已知函数是偶函数,是奇函数,正数数列满足 ,. (I)若前项的和为,求; (II)若,求中的项的最大值和最小值. 14. 已知等比数列的各项不为1的正数,数列满足(且 ),设,. (I)求数列的前多少项和最大,最大值是多少? (II)设,,求的值. (III)试判断,是否存在自然数M,使当时恒成立,若存在求出相应的M;若不存 在,请说明理由. 15设函数的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数,,都有 ,且存在,使得,数列中,,, 求证:对于任意的自然数,有: (I); (II). 参考答案: 问题1解:(I),得= 当时,=,有,即. 于是=.又,得=. 由于也适合该式,故=. (II)== 所以当或50时,有最小值. (III)因是与的最大者,有, 有==1. 问题2(I)证明:由,得. 由数学归纳法可证(). 而,当时, 因此,数列是一个公比为的等比数列. (II)解:由(I)知, 当时, 当时,() 而,有 当时,= ;当时,=. 以上两式对时也成立,于是 当时,= 当时,=. (III)解:当时,. 问题3解:(I)设点P(),由M,N得 ,, 有,,. 于是,,成公差小于零的等差数列等价于 ,即 所以点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆C. (II)设P(),则由点P在半圆C上知, 又==, 得, 又,,有, ,,由此得. 习题解答: 1由,恒成立,有,得,选D. 2,选B. 3设三边长分别为,且 ①当时,由,得; ②当时,由,得,于是得,选D. 4由,且,而, 又,于是,选D. 5由椭圆第2定义得,选A. 6由条件得,有,. 得,于是为锐角三角形,选B. 7由,有 ,即=216,得=36, 又,解得. 8,得. 9由条件知,公比满足,且,当时,; 当时,.于是的取值范围是. 10当为奇数时,相邻两项为与,由得 =10,且.所以中的奇数项构成以为首项,公差的等差数列. 当为偶数时,相邻两项为与,由= ,得,且 所以中的偶数项构成以为首项,公比的等比数列. 由此得. 11由,得,有;;是中的最大值,选①②④. 12解:(I)由=,再依题意有=,即① 又,为正偶数)得,代入①有. (II), 得 于是. 13解: (I)可得,,由已知,得 ,而,有,于是. (II), 由知的最大值为,最小值为.