复变函数和积分变换第6章共形映射.ppt

 图6.16 6.3.2指数函数与对数函数由于 在z平面内处处解析，且 因而由指数函数 所确定的映射是一个z平面上的共形映射.如果令??则 由此可见， 把z平面上的直线x=x0映射成w平面上的圆周 ；把直线y=y0映射成射线φ=y0. 指数函数 的单叶性区域是平行于实轴宽不超过2π的带形区域，如D:0Imza（0a≤2π）是单叶的.因此，w=ez把带形区域D:0Imza（0a≤2π）映射成w平面上的角形区域G:0argwa.特别地，它将0Im z2π映射成w平面除去原点及正实轴的区域（图6.17）. ???  图6.17 作为 的逆映射z=In w，则将w平面上的角形区域G:0arg wa（0a≤2π）映射成z平面上的带形区域D:0Im za，其中In w是G内的一个单值解析分支，它的值完全由区域D确定.于是，如果要在给定的带形区域与角形区域之间建立共形映射，就可以考虑运用指数函数和对数函数. 例6.15求一个把带形区域0Im z2π映射成单位圆|w|1的共形映射.解①作映射ζ= ，将0Im z2π映射成ζ平面上除去原点及正实轴的区域ζ；②作映射η= ，将区域ζ映射成上半平面η；③作分式线性映射 将上半平面η映射成单位圆|w|1.（图6.18）复合①，②，③即得所求映射为?   图6.18 下面介绍两个有关二角形区域的映射问题.把过a,b两点（两个顶点）的两圆弧（其中一个可以是直线段）围成的区域称为二角形区域.二角形的“内角”自然理解为过二角形顶点处两圆弧切线的夹角（图6.19(a)）.由分式线性映射的结论易知，将二角形区域映射成角形区域的分式线性映射为 ?? 它将z=a映为w=0，而将z=b映为w=∞.由于 ≠0(a≠b,k≠0).所以式（6.11）在z=a点是共形的，从而它将内角为α的二角形区域映射成以原点为顶角张角为α的角形区域（图6.19(b)）.??? 图6.19 特别地，当两圆周内切于点a时，两圆周所围的月牙形区域也是一个二角形区域（两顶点合二为一）.取分式线性映射??便可将切点a变成∞，而把月牙形区域变成一个带形区域（图6.20），如果适当地选取p,q，就可得到标准的带形区域0Imzπ.???? 图6.20 例6.16求将区域|z|1，Im z0映射成上半平面Im w0的一个共形映射.解①区域|z|1，Imz0是由圆弧与直线段构成的二角形区域，两顶点为－1和1，因此，作分式线性映射 它将二角形区域映射成顶点在原点的角形区域，直线段映成负实轴，圆弧映成负虚轴.故二角形的像为ζ平面的第三象限； ②用旋转映射 把ζ平面的第三象限映射成η平面的第一象限；③后用幂函数 将η平面的第一象限映射成w平面的上半平面Im w0（图6.21）.复合上述3个映射，即得所求映射为?   图6.21 例6.17求把区域D:|z|2，|z－1|1映射成上半平面的共形映射.解区域D是两圆周|z|=2,|z－1|=1相切于z=2的月牙形区域.①在式(6.12)中取p=1,q=0，得 它将圆周|z－1|=1上的点0,1－i,2分别映射为ξ平面上的点0,i,∞，因此，把圆周|z－1|=1映为虚轴，把|z－1|1映为右半平面.另外，它将圆周|z|=2上的点－2,－2i,2分别映射为ξ平面上的点1 ，从而把圆周|z|=2映为直线 ，把|z|2映为左半平面 所以映射 将区域D映为带形区域 ②作旋转映射 将带形区域 变为带形区域③作伸缩映射ζ=2πη，把带形区域 变为带形区域0Im ζπi.指数映射w=eζ，将带形区域0Im ζπi映为上半平面