复变函数和积分变换第二版本-4.1 复数项级数.ppt

* 第四章 解析函数的级数表示 * §4.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 第四章 解析函数的级数表示 §4.2 复变函数项级数 §4.1 复数项级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数 §4.1 复数项级数 一、复数序列 二、复数项级数 一、复数序列 1. 基本概念 定义 设 为复数，称 为复数序列。 极限 如果对任意给定的 e 0，相应地存在自然数 N， 设 为一复数序列，又设 为一确定的复数， 当 n N 时，总有 | zn - a | e 成立， 或 或称 a 为复数序列 的极限， 收敛于复数 a， 则称复数序列 记作 使得 一、复数序列 2. 复数序列极限存在的充要条件 则 的充要条件是 定理 设 证明 必要性 “ ” 若 则 当 时， P78 定理 4.1 则 的充要条件是 一、复数序列 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 证明 充分性 “ ” 则 当 时， 若 解 由 或 发散， 即得 也发散。 已知 故序列 收敛。 附 考察实序列 的收敛性。(其中 见上例) 根据复数模的三角不等式有 注 (1) 序列 收敛 序列 收敛； (2) 例 设 讨论序列 的收敛性。 解 即序列 收敛。 二、复数项级数 1. 基本概念 定义 设 为一复数序列， (1) 称 为复数项级数， (2) 称 为级数的部分和； 并且极限值 s 称为级数的和； (3) 如果序列 收敛，即 则称级数收敛， (4) 如果序列 不收敛，则称级数发散。 简记为 二、复数项级数 2. 复数项级数收敛的充要条件 级数 和 都收敛。 则级数 收敛的充分必要条件是 定理 设 证明 令 和 分别为级数 和 的部分和， 则级数 的部分和 即得级数 收敛的充要条件是 和 都收敛。 由于序列 收敛的充要条件是 和 都收敛， P80 定理 4.1 二、复数项级数 3. 复数项级数收敛的必要条件 则 收敛的必要条件是 定理 设 等价于 因此 收敛的必要条件是 证明 由于级数 收敛的充要条件是 和 都收敛， 而实数项级数 和 收敛的必要条件是： P80 定理4.3 级数 收敛， 解 但级数 发散， 因此级数 发散。 (几何级数 时收敛) ( p 级数 时发散) P81 例4.2 部分 解 由于级数 和 均为收敛， (绝对收敛) 故有级数 和 均收敛， 即得级数 收敛。 记为 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？ P81 例4.2 部分 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 二、复数项级数 定义 (1) 若 收敛，则称 绝对收敛。 (2) 若 发散， 收敛，则称 条件收敛。 由 收敛， 证明 收敛， 定理 若 收敛，则 必收敛。 又 根据正项级数的比较法可得， 和 均收敛， 和 均收敛， 收敛。 P81 P80 定理4.4 解 由于 即